SOLUTION

PFD appliqué au système des 2 masses : ${\bf F_{P1}} + {\bf F_{P2}}= 2m {\bf a}$ (les caractères en gras désignent des vecteurs)

$F_{P1} = \frac{GMm}{(d-r)^2}$ , $F_{P2}= \frac{GMm}{(d+r)^2}$

${\bf a} = \Big{(} \frac{d^2 \theta}{dt^2} - d (\frac{d\theta}{dt})^2 \Big{)} {\bf e_r} = - d (\frac{d\theta}{dt})^2 {\bf e_r} \equiv -d \omega^2 {\bf e_r}$ ,

où ${\bf e_r}$ est un vecteur unitaire radial. On obtient alors :

$- \frac{GMm}{(d-r)^2} - \frac{GMm}{(d+r)^2} = - 2 m d \omega^2$

Au premier ordre en r/d , $\frac{1}{(d-r)^2} \simeq \frac{1}{d^2} (1 + 2 r/d)$ et $\frac{1}{(d+r)^2} \simeq \frac{1}{d^2} (1 - 2 r/d)$

Donc $\omega^2 = \frac{GM}{d^3}$ au premier ordre en r/d . On retrouve la troisième loi de Kepler.