(p\pm q)_i = (p)_i \pm (q)_i

(pq)_i = \frac{1}{i!}\sum_{r=0}^{i}\frac{i!}{r! (i-r)!}p^{(r)}q^{(i-r)}=\sum_{r=0}^{i} (p)_r (q)_{i-r}

Soit f=\frac{p}{q}. Ainsi on a p=fq. D'après le résultat précédent on en déduit que (p)_i=\sum_{r=0}^i (q)_r (f)_{i-r}=\sum_{r=1}^{i} (q)_r (f)_{i-r}+q(f)_i.

Ainsi :

\left(\frac{p}{q}\right)_i = \frac{1}{q}\left\lbrace (p)_i - \sum_{r=1}^{i}(q)_r\left(\frac{p}{q}\right)_{i-r} \right\rbrace