On a (p^{a+1})_i =(p\,p^a)_i=\sum_{r=0}^i(p^a)_r(p)_{i-r} .

De même, on a:

(p^{a+1})_i=\frac{a+1}{i}(p'\,p^a)_{i-1}=\frac{a+1}{i}\sum_{r=0}^{i-1}(i-r)(p)_{i-r}(p^a)_r

En identifant les deux expressions et en isolant le terme avec r=i dans la première somme on trouve bien le résultat demandé.