SOLUTION

On a $0=f(a)=f(x_{n+1}+\epsilon_{n+1})=f(x_{n+1})+\espilon_{n+1}f'(\zeta_2)$ , avec $\zeta_2$ un nombre entre $x_{n+1}$ et . En combinant avec l'expression de $f(x_{n+1})$ obtenue précédemment, et sachant que d'après nos hypothèses $f'(\zeta_2)\neq 0$ , on obtient:

$\epsilon_{n+1}=-\frac{\delta_n^{k+1}f^{(k+1)}(\zeta_1)}{(k+1)! f'(\zeta_2)}$ .