On calcule d'abord v^2:

\begin{array}{rcl}v^2&=&\dot{r}^2 + r^2\dot{f}^2\\ &=&\frac{n^2a^2}{1-e^2}\left(e^2+1+2e\cos f\right) \\ &=&\mu\left(\frac{e^2-1+2(1+e\cos f)}{a(1-e^2)}\right) \end{array},

qui correspond bien à la relation demandée.

On obtient facilement C=-\frac{\mu}{2a} en subsituant v^2 par l'expression ci-dessus dans C=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}.