On a vu que r=a(1-e\cos E), ainsi \frac{\mathrm d r}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d r}{\mathrm d E} \frac{\mathrm d E}{\mathrm d t}=ae\sin E \frac{\mathrm d E}{\mathrm d t}.

D'autre part:

a^2e^2-(r-a)^2=a^2e^2\sin^2 E,

Ainsi, on a bien l'équation demandée pour E.