On a :

\dot{\mathbf r }\cdot\frac{{\rm d}^2 {\mathbf r}}{{\rm d}t^2}+\dot{\mathbf r}\cdot \frac{\mu {\mathbf r}}{r^3}=0.

Sachant que r^2={\mathbf r}\cdot{\mathbf r} et v^2=\dot{\mathbf r}\cdot \dot{\mathbf r}, on remarque que : \frac{{\rm d} v^2}{{\rm d}t}=2\, \dot{\mathbf r}\cdot \frac{{\rm d}^2 {\mathbf r}}{{\rm d}t^2} et \frac{{\rm d} r^2}{{\rm d}t}=2\, {\mathbf r}\cdot \dot {\mathbf r} .

De la deuxième relation on obtient : \frac{{\rm d}}{{\rm d} t} \frac{1}{r} = \frac{{\rm d} r^2}{{\rm d} t} \cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}r^2}\frac{1}{\sqrt{r^2}} =- \frac{{\mathbf r}\cdot \dot{\mathbf r}}{r^3}

Ainsi, en substituant dans l'équation de départ, on obtient :

\frac{\rm d}{{\rm d}t} \left( \frac{1}{2}v^2-\frac{\mu}{r} \right) = 0,

ce qui revient à montrer que C est bien une constante du mouvement.