SOLUTION

L'équation différentielle (du second ordre) à considérer est:

$\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0$

La solution générale est donc

$\theta = a \cos \omega_0 t + b \sin \omega_0 t$

et donc:

$\dot\theta = - a \omega_0 \sin \omega_0 t + b \omega_0 \cos \omega_0 t$

et sont des constantes arbitraires que l'on va déterminer pour chacun des vecteur de la base canonique.

La première colonne de correspond à la solution de condition initiale $\left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right)$ dans la notation matricielle:

$\left( \begin{array}{c} \theta(0) \\ \dot{\theta}(0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right)$

Ce qui donne a=1 et b=0 . Soit $Z_{ \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \end{array} \right)} = \left( \begin{array}{c}\cos \omega_0 t \\ -\omega_0 \sin \omega_0 t \end{array} \right)$

La deuxième colonne de correspond à la solution de condition initiale $\left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)$ dans la notation matricielle:

$\left( \begin{array}{c} \theta(0) \\ \dot{\theta}(0) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)$

Ce qui donne a=0 et $b=1/\omega_0$ . Soit $Z_{ \left( \begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array} \right)} = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\ \cos \omega_0 t \end{array} \right)$

Ainsi $A= \left( \begin{array}{cc} \cos \omega_0 t & \frac{1}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\ -\omega_0 \sin \omega_0 t & \cos \omega_0 t \end{array} \right)$