SOLUTION

Pour un déterminant d'ordre 2, un développement direct est facile et suffit à la démonstration.

Développons $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ :

$\left( \begin{array}{cc} \dot a_{1,1} & \dot a_{1,2} \\ \dot a_{2,1} & \dot a_{2,2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b_{1,1} & b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b_{1,1} a_{1,1}+b_{1,2}a_{2,1} & b_{1,1}a_{1,2} + b_{1,2}a_{2,2} \\ b_{2,1}a_{1,1}+b_{2,2}a_{2,1} & b_{2,1} a_{1,2}+b_{2,2}a_{2,2} \end{array} \right)$

Posons $u(t)=|A|=| \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array}|$ , on a:

$\dot u(t) = \arrowvert \begin{array}{cc} \dot a_{1,1} & \dot a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert + \arrowvert \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ \dot a_{2,1} & \dot a_{2,2} \end{array} \arrowvert = D_1 + D_2$

$D_1 = \arrowvert \begin{array}{cc} b_{1,1} a_{1,1}+b_{1,2}a_{2,1} & b_{1,1}a_{1,2} + b_{1,2}a_{2,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert = b_{1,1} \arrowvert \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert$

De même

$D_2 = b_{2,2} \arrowvert \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \arrowvert$

On a ainsi: $\dot u(t) = (b_{1,1} + b_{2,2}) u(t)$ qu'il reste à intégrer. CQFD.