SOLUTION

On pose encore u(t)= |A(t)| . On a:

$u(t) = \left| \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right|$

Par la forme mutilinéaire du déterminant, on $\dot u (t) = D_1 + \dots + D_n$ , avec

$D_i = \left| \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{i-1,1} &a_{i-1,2} & \dots & a_{i-1,n} \\ \frac{da_{i,1}}{dt} & \frac{da_{i,2}}{dt} & \dots & \frac{da_{i,n}}{dt} \\ a_{i+1,1} &a_{i+1,2} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right|$

On "développe" $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ , soit:

$\frac{d}{dt} \left( \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right) = \left( \begin{array} {cccc} b_{1,1} &b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\ b_{2,1} &b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ b_{n,1} &b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \end{array} \right) \times \left( \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right)$

Ainsi la ligne de D_i est :

$\left( \begin{array} {cccc} \frac{d}{dt} a_{1,1} &\frac{d}{dt} a_{1,2} & \dots & \frac{d}{dt} a_{1,n} \end{array} \right) = \left( \begin{array} {cccc} b_{1,1} &b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \end{array} \right) \times \left( \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right)$

Cette ligne est donc une combinaison linéaire des lignes de . Or dans un déterminant, on peut remplacer une ligne par cette même ligne à laquelle on ajoute une combinaison linéaire des autres lignes. On a ainsi:

$D_i = \left| \begin{array} {cccc} a_{1,1} &a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{i-1,1} &a_{i-1,2} & \dots & a_{i-1,n} \\ b_{i,i} a_{i,1 & b_{i,i} a_{i,2} & \dots & b_{i,i} a_{i,n} \\ a_{i+1,1} &a_{i+1,2} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots} &\vdots & &\vdots \\ a_{n,1} &a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \end{array} \right| = b_{i,i} u(t)$

Ainsi, on a bien : $\dot u(t) = (b_{1,1} + \dots + b_{n,n}) u(t)$