SOLUTION

En multipliant à droite chaque membre de la relation $\dot{A}(t) = B(t) A(t)$ par A(T) x , on obtient

$\dot{A}(t) A(T) x = B(t) A(t) A(T) x$

Donc A(t) A(T)x est solution de l'équation de Mathieu (sous forme matricielle: $\dot{Z} = B Z$ ) de condition initiale A(T) x .

Il reste à montrer que A(t+T) x est solution aussi (avec la même condition initiale A(T) x ).

$\frac{d}{dt} (A(t+T) x) = \dot A(t+T) x = B(t+T) A(t+T) x$

car est solution de $\dot A (t) = B(t) A(t)$ . De plus la matrice est périodique de période . On a finalement:

$\frac{d}{dt} (A(t+T) x) = B(t) A(t+T) x$