Géométrie dans l'espace : Page pour l'impression

On cherche à caractériser la partie de l'espace délimitée par un cône de sommet O et de demi-ouverture $\Theta$ . On considère la calotte sphérique de rayon R et d'aire S(R) délimitée par ce cône. La quantité

$\Omega = \frac{S}{R^2}$

est indépendante de R. Elle mesure l'angle solide défini par le cône.

Cette quantité sans dimension est mesurée en stéradians (sr) - voir la définition des unités physiques.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Angles solides

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Question 1)

Quel est l'angle solide sous-tendu par un demi-espace ? Par l'espace complet ?

Question 2)

Quel est l'angle solide sous-tendu par une surface quelconque, de quoi dépend-il ? Ecrire l'application à une surface plane élémentaire dS inclinée sur la ligne de visée.

Question 3)

Donner l'expression différentielle de l'angle solide élémentaire en coordonnées sphériques.

Crédit : Sharayanan/GNU Free Documentation License

Question 4)

On considère maintenant une couronne circulaire élémentaire de demi-ouverture $\alpha$ . Donner l'expression de l'angle solide en fonction de cet angle. En déduire l'angle solide sous-tendu par une calotte de demi-ouverture $\Theta$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Question 5)

Que devient cette valeur si l'angle $\Theta$ est petit ? Estimer l'angle solide sous lequel on voit le Soleil et la Lune depuis la Terre.

Photométrie

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

Question 1)

On observe une surface plane à l'aide d'une caméra, dans la configuration de la figure ci-dessous : le détecteur de la caméra a une surface $\sigma$ , on observe la source de surface S sous un angle e à la distance $\Delta$ . Les dimensions sont telles que les angles solides considérés sont petits ( $S \ll \Delta^2$ ).

Ecrire l'angle solide sous lequel le détecteur voit la source. Ecrire l'angle solide sous lequel la source voit la surface collectrice. Dériver une relation entre les deux angles solides.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

Question 2)

On note W' la puissance lumineuse diffusée par la source par unité d'angle solide. L'éclairement (ou irradiance) est la puissance recueillie par unité de surface de détecteur en provenance de la source.

Ecrire l'éclairement E en fonction de la puissance totale reçue par le détecteur (dW). Quelle est l'unité de mesure de cette quantité dans le Système International ? De quoi dépend-elle en général ?

Question 3)

La luminance (ou intensité spécifique) d'une source est la puissance lumineuse émise ou diffusée dans un angle solide élémentaire par unité de surface apparente.

Ecrire la luminance en fonction de dW. Dans quelle unité SI se mesure cette quantité ? De quoi dépend-elle en général ?

Question 4)

Ecrire l'éclairement reçu par le détecteur en fonction de la luminance de la source et de la distance. Que signifie cette expression si la source est ponctuelle (c'est-à-dire si elle ne remplit pas le champ de l'instrument) et dans le cas contraire ?

Intégrales angulaires

On trouvera ici des exercices d'intégration angulaire sur les quantités photométriques.

Auteur: Alain Vienne (et le groupe IREM de Lille1)

On se propose d'établir les conditions pour que le croissant de Lune soit vu d'un lieu de la Terre comme une gondole:

Croissant de Lune vu horizontalement (comme une "gondole").

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

Nous allons étudier ce problème par la trigonométrie sphérique qui permet de voir facilement les choses. La notion de sphère céleste est issue du fait que, à un lieu donné et à une date donnée, l'observateur n'a pas accès à la distance entre lui et l'objet céleste. Cet observateur peut alors considérer que tous ces objets sont à une même distance (arbitraire). Cela revient à dire que l'observateur n'appréhende que les directions issues de sa position. Or l'ensemble de ces directions s'identifie à une sphère centrée sur ce point.

Aucune formule n'est nécessaire pour résoudre l'exercice suivant. Il suffit de connaitre les bases. Soit:

On considère une sphère de rayon 1.
L'intersection de tout plan passant son centre avec la sphère est un grand cercle. Les grands cercles sont les géodésiques de la sphère.
On s'oriente sur la sphère par la donnée un grand cercle orienté (ou de manière équivalente par un point appelé pôle qui est situé à 90° du grand cercle origine) et par une origine sur ce grand cercle.

Auteur: Alain Vienne

Exercice

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

Montrer que la condition d'horizontalité du croissant de Lune nécessite que la Lune et le Soleil aient le même azimut.

Question 2)

La condition de même azimut est donc une condition nécessaire. Réciproquement, si cette condition est réalisée, préciser les conditions sur les hauteurs du Soleil et de la Lune pour que le croissant soit vu comme une "gondole" et non à l'envers (un "D" renversé).

La hauteur est l'angle sur le vertical (cercle de même azimut). Il est compté de -90° à 90° par rapport à l'horizon.

Question 3)

Cette figure donne, pour chaque position de la Lune sur le même vertical que le Soleil (quand la condition est réalisée), l'aspect de celle-ci.

Phases de la Lune sous la condition de même azimut. Figure dans le vertical de la Lune (et du Soleil).

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Vienne

La position du zénith sur le cercle est indicatif. Elle correspond au cas de la figure donnée en solution de la question précédente. Bien-sur, si le zénith est ailleurs sur le cercle, cela change les conditions de lever/coucher du Soleil et de la Lune. Faites d'autres figures en changeant le zénith de place (cela déplace aussi l'horizon).

Question 4)

En supposant que la Lune est toujours sur l'écliptique, donner les seuls endroits de la Terre où il est possible de voir le croissant de Lune horizontal.

Auteur: Alain Vienne (et le groupe IREM de Lille1)

Il est peut-être plus facile de voir les 2 cas (coplanaire et non-coplanaire) en raisonnant sur la sphère des fixes. Précédemment, on regardait le mouvement diurne d'un point de la sphère des fixes (le pôle de l'écliptique) sur la sphère locale (de pôle ). Ici, nous allons faire la démarche réciproque: on regarde le mouvement diurne de sur la sphère des fixes. On utilise la condition suivante:

$L\in\textrm{\,\, grand cercle\,\, }(ZS)\,\,\,\,\textrm{(vertical du Soleil)}$

En effet, nous avons vu que c'est la condition pour voir la Lune comme une gondole (ou tout au moins, la Lune à l'horizontal).

figures_croissantlune/croissant_zenith_sphere_fixes.png

Petit cercle des zéniths sur la sphère des fixes durant le mouvement diurne. Cas d'une zone tempérée (à gauche) et d'une zone intertropicale (à droite). Cas de la Lune sur l'écliptique (en haut) et cas de la Lune de part et d'autre de l'écliptique à $5^{\circ}$ au plus (en bas).

Crédit : Alain Vienne / IREM de Lille

Sur une sphère des fixes où on a placé l'équateur, l'écliptique et leur pôle, et pour une latitude $\phi$ donnée, on trace le petit cercle correspondant aux positions prises par le zénith au cours du mouvement diurne (petit cercle des ). A chacune de ces positions de , il correspond un seul grand cercle passant par le Soleil: c'est le vertical du Soleil. On obtient ainsi un "faisceau" de grands cercles dont les sommets sont le Soleil et le point diamétralement opposé. Sur la figure, pour ne pas encombrer celle-ci, nous en avons tracé qu'une partie puisque qu'on les a arrétés au niveau du petit cercle des. En réalité, ces grands cercles sont bien complets de sorte que toute la calotte sphérique se situant au dessus du petit cercle des est parcouru par ces grands cercles. Ainsi la sphère est divisée en deux parties: celle contenant chaque vertical du Soleil et l'autre.

La Lune doit se trouver dans la première partie (les "faisceaux" de la figure). La frontière entre ces deux parties correspond au vertical du Soleil qui est tangent au petit cercle des .

Cas de la Lune sur l'écliptique: Ce cas correspond aux 2 dessins du haut de la figure. En dehors de la zone intertropicale (à gauche), l'écliptique coupe les "faisceaux" qu'en ses sommets: au Soleil et au point diamétralement opposé. Si on impose à la Lune d'être sur l'écliptique, il n'y a qu'en ces points que la condition est réalisée (éclipses). Par contre, dans la zone intertropicale, tout l'écliptique est contenu dans les "faisceaux". Ainsi la condition est réalisée deux fois par jour comme on l'a vu dans précédemment.

Cas où la Lune est de part et d'autre de l'écliptique:

L'orbite de la Lune est inclinée d'environ $5^{\circ}$ sur l'écliptique. Son noeud qui permettrait de positionner le grand cercle correspondant à son orbite, a un mouvement de rétrograde de $-19^{\circ},34/$ an (période: 18,6 ans). Pour ne pas rentrer dans trop de détails superflus à la compréhension, nous allons simplement considérer que la Lune est de part et d'autre de l'écliptique sur une bande large de $10^{\circ}$ . Bien-sur, il ne faut pas oublier que la Lune parcourt en fait un grand cercle contenu dans cette bande: la position en longitude dans cette bande dépend de la date dans la lunaison et la position "verticale" dans cette bande dépend de la position du noeud de l'orbite lunaire.

On remarque ainsi qu'au voisinage de la pleine Lune ou au voisinage de la nouvelle Lune, la condition de "Lune horizontale" est possible partout sur la Terre. Mais on se rend bien compte que, loin des tropiques, la zone est étroite. Elle s'agrandit au fur et à mesure que le lieu considéré s'approche du tropique.

Dans le cas d'un lieu dans la zone intertropicale, la possibilité d'une telle condition est grande. La probabilité de réalisation l'est donc aussi. Cependant cette probabilité n'est pas 1, car on voit apparaitre une petite zone de la bande lunaire qui croise la partie où il n'y a pas de vertical du Soleil (en dehors des "faisceaux"). Cette zone est petite et proche du Soleil. Ainsi même dans la zone intertropicale, il peut y avoir des jours où la Lune n'est pas vue à l'horizontal. Cela se produit pour des positions particulières de l'orbite lunaire et pour des dates proches de la pleine Lune ou de la nouvelle Lune.