SOLUTION

D'après les propriétés de la fonction sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique on en déduit que est continue, dérivable deux fois sur $\mathbb{R}$ .

On a $f'(x)=e\cosh x -1$ . Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\cosh x \ge 1$ . Comme e>1 on en déduit que f'(x)>0 pour $x\in \mathbb{R}$ .

De même $f''(x)=e\sinh x$ . Pour x>0 on a donc bien f''(x)>0 .