D'après les propriétés de la fonction sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique on en déduit que f est continue, dérivable deux fois sur \mathbb{R}.

On a f'(x)=e\cosh x -1. Pour tout x\in\mathbb{R}, \cosh x \ge 1. Comme e>1 on en déduit que f'(x)>0 pour x\in \mathbb{R}.

De même f''(x)=e\sinh x. Pour x>0 on a donc bien f''(x)>0.