Comme f et f' sont positives sur \mathbb{R}^+, la suite \lbrace u_n \rbrace est effectivement décroissante tant que les valeurs de la suite restent dans \mathbb{R}^+. D'autre part, en remarquant que le point de l'axe des abscisses d'abscisse u_{n+1} est le point d'intersection de la tangente au point d'abscisse u_n à la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses, on en déduit que f(u_{n+1})>0 puisque la tangente est en-dessous de la courbe représentative de f. Comme f est croissante et que f(r)=0 on a bien u_{n+1}\ge r.