E s'écrit comme un produit de fonctions ou de composition de fonctions qui sont de classe {\mathcal C}^{\infty} sur ]0,+\infty[ , donc E est aussi de classe classe {\mathcal C}^{\infty} sur ]0,+\infty[. Le signe s'optient de la même manière, en considérant le signe de chaque fonction intervenant dans le calcul de E sur cet intervalle.