Il n'y a que des fonctions trigonométriques à intégrer. Or \cos (\alpha -\lambda), intégré entre 0 et 2 \pi, est nul.

Pour le terme avec \cos^2 (\alpha -\lambda), la valeur de l'intégrale est 1/2 (il suffit de linéariser).

Au final, en notant m=2 \pi \rho a (masse totale de l'anneau) et en notant s = \sin \varphi , on obtient:

U = {\frac{Km}{r}}\,\ \left( 1 - \frac{1}{2} \left({\frac{a}{r}}\right)^2 ( \frac{3}{2} s^2 -\frac{1}{2}) \right)