SOLUTION

On doit calculer l'intégrale: $\mathcal{A}_{\rm C}=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2-\alpha} R^2 \sin \theta {\rm d} \theta {\rm d} \phi$ , où $\phi$ est l'angle $\widehat{Z''H'M}$ et $\theta$ l'angle $\widehat{OLM}$ avec un point de la calotte, son projeté orthogonal sur la droite (OL) et Z'' le point de la droite (OZ) dont la projection orthogonale sur (OL) est .

On trouve: $\mathcal{A}_{\rm C}=2\pi R^2 \left\lbrack 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right\rbrack = 2\pi R^2 ( 1-\sin \alpha)$ . C'est-à-dire: $\mathcal{A}_{\rm C}=2\pi R^2 ( 1-\delta)=\mathcal{A}_{\rm L} (1-\delta)$ .