Longueur d'une courbe, aire d'une surface

Auteurs: Jérôme Thiébaut, Marc Fouchard, Alain Vienne

Redshift
Ex: Redshift
Calotte sphérique
Ex : Calotte sphérique
Potentiel gravitationnel de la Terre
Ex: Potentiel gravitationnel de la Terre

Redshift

Auteur : Jérôme Thiébaut

En coordonnées cartésiennes, un élément de longueur se calcule selon le théorème de Pythagore: ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 .

Ceci donne en coordonnées sphériques: ds^2=dr^2+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2 .

On voit que l'expression de ds^2 dépend de la métrique utilisée, c'est à dire de la manière de décrire l'espace. En cosmologie, dans le cadre de la relativité générale, on calcule de même les éléments de longueur en fonction de la métrique de l'espace temps soit:

ds^2=-c^2*dt^2+a(t)^2*(dr^2/(1-Kr^2)+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2) ,

ou a(t) est le facteur d'échelle qui décrit l'expansion de l'univers, le temps, , theta et phi les coordonnées comobiles (c'est à dire fixes par rapport à l'expansion de l'univers) , la vitesse de la lumière et la courbure de l'univers.

Pour un photon, la trajectoire est telle que ds^2=0 .

On se propose dans cet exercice d'étudier la trajectoire d'un photon radial afin de relier le redshift (ou décallage spectral), , au facteur d'échelle, .

Ex: Redshift

Auteur: Jérôme Thiébaut

Redshift

Difficulté : ☆☆ Temps : 20mn

On considère un photon radial émis à une distance r_1 au temps t_1 par une galaxie lointaine. Ce photon nous est reçu au temps t_0 en r=0 .

Sa trajectoire est décrite par la métrique: ds^2=-c^2*dt^2+a(t)^2*(dr^2/(1-Kr^2)+r^2*d*theta^2+r^2*sin(theta)^2*d*phi^2)=0 .

Question 1)

Simplifier la métrique compte tenu de la nature du photon et exprimer l'égalité sous forme intégrale.

Question 2)

Un deuxième photon est émis à t_1 + delta*t_1 et est reçu en t_0 + delta*t_0 . Quelle est la nouvelle égalité sous forme intégrale ?

Question 3)

Sachant que a(t) est considéré comme constant pendant un temps delta*t faible et que la distance comobile ( r_1 ) est constante par définition, montrer que a(t_1)/a(t_0)=delta*t_1/(delta*t_°) .

Question 4)

Le redshift est défini comme suit: z=(lambda_0 -lambda_1)/lambda_1 , où est la longueur d'onde du photon reçu et celle du photon émis.

Sachant qu'à un delta*t correspond une longueur d'onde lambda , et que par convention, a(t_0)=1 , relier la quantité 1+z au facteur d'échelle.

Calotte sphérique

Auteur : Marc Fouchard

Etant donné qu'un observateur sur Terre se trouve à une distance finie de la Lune, lorsqu'il regarde la Lune il ne perçoit qu'une calotte et non un hemisphère. L'objectif de cet exercice est de trouver la surface de la partie de la Lune observable depuis la Terre et de comparer cette surface à celle de l'hémisphère.

On note l'observateur, le centre de la Lune et $\mathcal{C}_{\rm L}$ l'intersection de la sphère correspondant à la Lune avec un plan contenant la droite (OL) . Ainsi $\mathcal{C}_{\rm L}$ est un cercle de centre et de rayon , où est le rayon de la Lune. On note la distance . Les tangentes à $\mathcal{C}_{\rm L}$ passant par coupent $\mathcal{C}_{\rm L}$ en et . Soit le point de ${\mathcal{C}_{\rm L}$ tel que (LN) est perpendiculaire à (OL) avec du même coté que de la droite (OL) . On note le projeté orthogonal de sur (OL) , $\alpha$ l'angle $\widehat{ZOL}$ et la distance .

La calotte visible depuis correspond donc à la partie de la surface de la Lune tournée vers et de frontière le cercle de centre et de rayon .

Ex : Calotte sphérique

Auteur: Marc Fouchard

Calotte sphérique

Difficulté : ☆ Temps : 30 mn

Question 1)

Faire la figure qui correspond à l'énoncé.

Question 2)

Soit $\delta=\frac{R}{d}$ , calculer en fonction de et $\delta$ .

Question 3)

Calculer la surface $\mathcal{A}_{\rm C}$ de la calotte visible depuis en fonction de la surface d'un hémisphère de la Lune $\mathcal{A}_{\rm L}$ et de $\delta$ .

Question 4)

Montrer que dans le cas d'un astronaute autour de la Terre la portion de surface $\mathcal{A}_{\rm C}$ de la Terre visible par l'astronaute s'écrit sous la forme de la surface d'un cercle dont on déterminera le rayon en fonction du rayon de la Terre $R_\oplus$ et de l'altitude de l'astronaute. On supposera donc que $h \ll R_\oplus$ .

Potentiel gravitationnel de la Terre

Auteur : Alain Vienne

Le potentiel gravitaionnel de la Terre est souvent modélisé par:

$U(r,- ,\varphi ) = {\frac{KM}{r}}\,\ \left( 1 - J_2 \left({\frac{a_e}{r}}\right)^2 P_2(\sin \varphi) \right)$

avec $P_2(s) = \frac{3}{2} s^2 -\frac{1}{2}$

C'est le potentiel évalué en un point de coordonnées sphériques $(r,\lambda,\varphi)$ (dont le plan horizontal est la plan de l'équateur).

est la masse totale de la Terre et a_e son rayon équatorial ( la constante de gravitation universelle). J_2 est un coefficient qui caractérise l'aplatissement de la Terre suivant l'axe des pôles. Sa valeur (sans unité) est de 0,00108 .

Dans l'exercice qui suit, nous allons évaluer le potentiel d'un anneau massif et homogène. Nous verrons que l'expression obtenue aura exactement la même forme que celle ci-dessus.

Un exemple d'application concerne la prise en compte de la gravitation des anneaux de Saturne: il suffit de réévaluer le cooefficient d'aplatissement J_2 de Saturne.

Voici un autre exercice sur le potentiel gravitationnel terrestre.

Ex: Potentiel gravitationnel de la Terre

Auteur: Alain Vienne

Potentiel gravitationnel de la Terre

Difficulté : ☆ Temps : 1h

Question 1)

Soit un anneau de centre et de rayon . On repère un point de coordonnées sphériques $(r,\lambda,\varphi)$ (dont le plan horizontal est le plan de l'anneau).

Soit un point de l'anneau. Il fait un angle $\alpha$ avec le premier axe (même origine que l'angle $\lambda$ ).

Calculer la distance $\Delta$ de à .

Question 2)

Calculer $\frac{1}{\Delta}$ en se limitant aux termes de degré 2 au plus en $(\frac{a}{r})$ .

Question 3)

Pour avoir le potentiel total de l'anneau, il faut sommer cette expression pour variant le long de l'anneau. C'est-à-dire, il faut intégrer cette expression par rapport à $\alpha$ qui varie de à $2 \pi$ .

A partir de l'expression précédente, calculer $U = \int_{An} \frac{K \ dm}{\Delta}$ .

Question 4)

En comparant cette expression avec celle utilisant le coefficient J_2 , donner le rayon de l'anneau correspondant au potentiel terrestre. On donne a_e = 6400 km.

Réponses aux exercices

pages_mesure/za2.html

Exercice 'Redshift'

Question 1
Aide :
Le photon étant radial, et sont donc constants au cours de la trajectoire et peuvent être choisis comme nuls.

Solution :
Le photon étant radial, et sont choisis comme nuls. On peut donc simplifier la métrique: soit .

Et sous forme intégrale:
Question 2
Solution :
Question 3
Aide :
Décomposer l'intégrale par la relation de Chasles.

Solution :
Question 4
Solution :

pages_mesure/exo-calotte.html

Exercice 'Calotte sphérique'

Question 1
Solution :

solution

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard
Question 2
Solution :
On $OZ=\sqrt{d^2-R^2}$ . On en déduit que: $\cos \alpha=\frac{\sqrt{d^2-R^2}}{d}=\sqrt{1-\delta^2}$ .

Or dans le triangle rectangle en on a: $\cos \alpha = \frac{r}{R}$ . On en déduit que: $r=R\sqrt{1-\delta^2}$ .
Question 3
Solution :
On doit calculer l'intégrale: $\mathcal{A}_{\rm C}=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2-\alpha} R^2 \sin \theta {\rm d} \theta {\rm d} \phi$ , où $\phi$ est l'angle $\widehat{Z''H'M}$ et $\theta$ l'angle $\widehat{OLM}$ avec un point de la calotte, son projeté orthogonal sur la droite et le point de la droite dont la projection orthogonale sur est .

On trouve: $\mathcal{A}_{\rm C}=2\pi R^2 \left\lbrack 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right\rbrack = 2\pi R^2 ( 1-\sin \alpha)$ . C'est-à-dire: $\mathcal{A}_{\rm C}=2\pi R^2 ( 1-\delta)=\mathcal{A}_{\rm L} (1-\delta)$ .
Question 4
Solution :
On a $d=R_\oplus+h$ , ainsi $\delta=\frac{R_\oplus}{R_\oplus+h}=\frac{1}{1+h/R_\oplus}=1-\frac{h}{R_\oplus}+\mathcal{O}\left(\frac{h}{R_\oplus}\right)^2.$ Ainsi $\amthcal{A}_{\rm C}=2\pi R_\oplus^2 \left\lbrack\frac{h}{R_\oplus}+\mathcal{O}\left(\frac{h}{R_\oplus}\right)^2\right\rbrack$ .

pages_mesure/exo-potentiel-terre.html

Exercice 'Potentiel gravitationnel de la Terre'

Question 1
Solution :
$\Delta^2 = AP^2 = (\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}) = a^2 + r^2 - 2 \overrightarrow{OA} . \overrightarrow{OP}$

$= a^2 - 2 a r \left|\begin{array}{c} \cos \alpha\\ \sin \alpha\\ 0\\ \end{array} . \left|\begin{array}{c} \cos \varphi \cos \lambda\\ \cos \varphi \sin \lambda\\ \sin \varphi\\ \end{array} + r^2$

$= a^2 - 2 a r \cos \varphi \cos (\alpha -\lambda) + r^2$
Question 2
Solution :
$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r} (1 + 2 \frac{a}{r} \cos \varphi \cos (\alpha -\lambda) + (\frac{a}{r})^2)^{-1/2}$

Or $(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3}{8} x^2 + ...$

On en déduit que:

$\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{r} (1 - \cos \varphi \cos (\alpha -\lambda) (\frac{a}{r}) + (\frac{3}{2} \cos^2 \varphi \cos^2(\alpha -\lambda) - \frac{1}{2})(\frac{a}{r})^2)$
Question 3
Aide :
Si on note $\rho$ la masse linéique, on peut écrire $dm = \rho a d\alpha$ . L'anneau est homogène donc $\rho$ est constant.

Solution :
Il n'y a que des fonctions trigonométriques à intégrer. Or $\cos (\alpha -\lambda)$ , intégré entre et $2 \pi$ , est nul.

Pour le terme avec $\cos^2 (\alpha -\lambda)$ , la valeur de l'intégrale est (il suffit de linéariser).

Au final, en notant $m=2 \pi \rho a$ (masse totale de l'anneau) et en notant $s = \sin \varphi$ , on obtient:

$U = {\frac{Km}{r}}\,\ \left( 1 - \frac{1}{2} \left({\frac{a}{r}}\right)^2 ( \frac{3}{2} s^2 -\frac{1}{2}) \right)$
Question 4
Solution :
On fait , puis en identifiant les 2 expressions, on obtient $a = \sqrt{2 J_2} a_e$ . Ce qui donne 297 km.