Théorème du point fixe : Page pour l'impression

Loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

: $E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}$

où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, est la constante de Planck, la constante de Boltzmann, $\lambda$ la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et la température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de $E(\lambda)$ pour différente température de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde $\lambda_{\rm max}$ pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Loi de Planck

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre $\lambda_{\rm max}$ et .

Remarque

Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné.

Ex : loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

loi de Wien

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Question 1)

Sachant que , et sont des constantes strictement positives et que la température étant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que $E(\lambda)$ est de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Question 2)

Montrer que les limites de $E(\lambda)$ quand $\lambda$ tend vers 0 et vers $+ \infty$ sont toutes les deux égales à zéro.

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour $E(\lambda)$ sur $\left\rbrack 0 ; +\infty \right\lbrack$ .

Question 4)

En effectuant le changement de variable $u=\frac{h c}{k \lambda T}$ , montrer qu'étudier le signe de $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ revient à étudier celui de $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ .

Question 5)

En déduire une condition sur , de la forme f(u)=u , pour que $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Question 6)

Montrer que est une application contractante sur l'intervalle fermé $\left\lbrack 4 ; 6 \right\rbrack$ .

Question 7)

En déduire l'existence d'un point fixe unique de dans cet intervalle. Constuire une suite récurente convergent vers ce point fixe. En déduire une valeur $\tilde{u}_S$ qui soit une valeur approchée de u_S à $10^{-6}$ prêt.

Question 8)

En déduire la relation $\lambda_{\rm max}\cdot T =A$ où $c=299\,792\,000~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}$ , $h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s}$ et $k = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}$ . Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de $\tilde{u}_S$ dans le calcul de la constante .

Réponses aux exercices

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Exercice 'loi de Wien'

Question 1
Solution :

s'écrit comme un produit de fonctions ou composition de fonctions de classe ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ , donc est aussi ${\mathcal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$ . Et est strictement positive puisque chaque facteur apparaissant dans est strictement positif sur cet intervalle.

Question 2
Aide :

On pourra effectuer le changement de variable $u=\frac{hc}{k T \lambda }$ . Pour la limite en $+\infty$ on pourra faire un dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle.

Solution :

$\lim_{\lambda \to 0^{+}} E(\lambda)= \lim_{u \to +\infty} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot\frac{u^5}{{\rm e}^{u} - 1}=0$ car l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en $+ \infty$ .

$\lim_{\lambda \to + \infty} E(\lambda)= \lim_{u \to 0^{+}} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot\frac{u^5}{{\rm e}^{u} - 1}=\lim_{u \to 0^{+}} \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot u^4 = 0$ où on a utilisé le dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle : ${\rm e}^u = 1 + u + O(u^2)$ .

Question 3
Solution :

Les limites trouvées à la question précédente nous permettent de dire que $\farlall \epsilon > 0$ , $\exists M > 0$ et $\exists \delta > 0$ tels que $\forall x > M$ on a $0 < E(x) < \epsilon$ et $\forall x < \delta$ et x > 0 on a $0 < E(x) < \epsilon$ . Ainsi, est une fonction continue sur l'intevalle $[\delta,M]$ .

Or l'image d'un segment fermé par une fonction continue est un segment fermé. Ce dernier possède donc une borne supérieure qui est etteinte par sur $[\delta,M]$ . Soit $E_{\rm max}$ ce maximum. On peut toujours choisir $\epsilon$ pour que $\epsilon< E_{\rm max}$ , ainsi $E_{\rm max}$ sera aussi le maximum de sur $]0,+\infty[$ .

Question 4
Solution :

$\frac{{\rm d}E(\lambda)}{{\rm d}\lambda}=\frac{{\rm d}u}{{\rm d} \lambda}\frac{{\rm d}E(u)}{{\rm d}u}=-\frac{hc}{k\lambda^2T}\frac{{\rm d}E(u)}{{\rm d}u}=-\left(\frac{kTu}{hc}\right)^2\frac{{\rm d}E(u)}{{\rm d}u}$ ce qui montre bien qu'étudier le signe de $\frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}$ revient à étudier celui de $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}$ .

Question 5
Solution :

$E(u)=\frac{2 k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot \frac{u^5}{{\rm e}^u -1}$ donc $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} = \frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3}\cdot \frac{5u^4({\rm e}^u -1) - u^5 {\rm e}^u}{({\rm e}^u -1)^2}$ .

Comme $u\in\left\rbrack 0 ; +\infty \right \lbrack$ , et que $\frac{2k^5 T^5}{h^4 c^3} > 0$ on a $\frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} = 0 \quad {\rm ssi}\quad 5u^4({\rm e}^u-1)-u^5{\rm e}^u =0$ . Ainsi la condition sur . peut se mettre sous la forme $5-5\, {\rm e}^{-u}=u$ .

Question 6
Solution :

Pour tous et dans l'intervalle $\left\lbrack 4 ; 6 \right\rbrack$ , on a $| f(u) - f(v) | = 5 | {\rm e}^{-v} - {\rm e}^{-u}| < 5{\rm e}^{-4} < 1$ .

Question 7
Solution :

Application directe du théorème du point fixe dans ${\bf R}$ . La suite est simplement définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0\in [ 4 ; 6]$ . Comme ${\rm e}^{-5}\approx 0,006$ , on a $f(5) \approx 5 - 0,030$ . On remarque que u_0=5 est un bon choix pour u_0 .

Question 8
Solution :

On doit trouver la relation :

$\lambda_{\rm max}\cdot T = 2,89789 \times 10^{-3}\,{\rm m}\cdot {\rm K}$