Théorème du point fixe

Auteur: Marc Fouchard

Loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :

:E(\lambda)=\frac{2 h c^2}{\lambda ^5}\cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h c}{k \lambda T} \right) -1}

c correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, hest la constante de Planck, kla constante de Boltzmann, \lambdala longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et Tla température de surface du corps noir.

La figure ci dessous montre le comportement de E(\lambda) pour différente température de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde \lambda_{\rm max} pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.

Loi de Planck application.png

Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre \lambda_{\rm max} et T.

remarqueRemarque

Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné.


Ex : loi de Wien

Auteur: Marc Fouchard

exerciceloi de Wien

Difficulté : ☆☆   Temps : 1h

Question 1)

Sachant que h, c et ksont des constantes strictement positives et que la température Tétant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que E(\lambda) est de classe {\mathcal C}^{\infty} sur ]0,+\infty[ et est toujours strictement positive sur cet intervalle.

Question 2)

Montrer que les limites de E(\lambda) quand \lambdatend vers 0 et vers + \inftysont toutes les deux égales à zéro.

Question 3)

En déduire qu'il doit exister un maximum pour E(\lambda) sur \left\rbrack 0 ; +\infty \right\lbrack.

Question 4)

En effectuant le changement de variable u=\frac{h c}{k \lambda T}, montrer qu'étudier le signe de \frac{{\rm d} E(\lambda)}{{\rm d} \lambda}revient à étudier celui de \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u}.

Question 5)

En déduire une condition sur u, de la forme f(u)=u, pour que \frac{{\rm d} E(u)}{{\rm d} u} s'annule. On note u_S la solution de cette équation lorsqu'elle existe.

Question 6)

Montrer que fest une application contractante sur l'intervalle fermé \left\lbrack 4 ; 6 \right\rbrack.

Question 7)

En déduire l'existence d'un point fixe unique de fdans cet intervalle. Constuire une suite récurente convergent vers ce point fixe. En déduire une valeur \tilde{u}_S qui soit une valeur approchée de u_S à 10^{-6} prêt.

Question 8)

En déduire la relation \lambda_{\rm max}\cdot T =Ac=299\,792\,000~ {\rm m}\cdot{\rm s}^{-1}, h = 6,626\,17\times 10^{-34}~{\rm J}\cdot{\rm s} etk = 1,380\,66 \times 10^{-23}~{\rm J}\cdot{\rm K}^{-1}. Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs. Justifier l'utilisation de \tilde{u}_S dans le calcul de la constante A.


Réponses aux exercices

pages_pt-fixe/exo-loi-de-wien-pt-fixe.html

Exercice 'loi de Wien'