SOLUTION

On utilise le contour suivant, en faisant tendre $|\Omega|$ vers l'infini sur C_4 , et vers 0 sur C_2 . Le théorème de Cauchy assure que l'intégrale le long de ce contour est nulle :

Contour d'intégration pour le calcul de l'intégrale

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Erard

$\int_{C_1} \frac{\chi(\Omega)} {(\Omega - \omega)} d\Omega + \int_{C_2} \frac{\chi(\Omega)} {(\Omega - \omega)} d\Omega + \int_{C_3} \frac{\chi(\Omega)} {(\Omega - \omega)} d\Omega + \int_{C_4} \frac{\chi(\Omega)} {(\Omega - \omega)} d\Omega = 0$

En appelant I_n l'intégrale sur le contour C_n , I_4 tend vers 0, la somme I_1 + I_3 tend vers l'intégrale cherchée, et I_2 est donnée par le théorème de résidus. On a au total :

$i \pi \chi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi(\Omega)} {(\Omega - \omega)} d\Omega$

soit une relation entre $\chi(\omega)$ et son intégrale avec un coefficient imaginaire, ce qui implique une relation entre les parties réelle et imaginaire de $\chi(\omega)$ .