Auteur: Jérôme Thiébaut
L'un des outils les plus utilisés pour étudier le champ de densité de l'univers est le spectre de puissance . Ce spectre est relié à la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation du champ et est une fonction des fréquences spatiales . En d'autres termes, la transformée de Fourier revient à effectuer un changement de base et à remplacer le champ définie de manière locale par une somme de sinusoides, contenues dans une boîte de taille L, définissant le champ de manière globale.
Ainsi, le spectre de puissance donne pour chaque , le poids de cette fréquence.
Dans la jeunesse de l'univers, celui ci était invariant d'échelle, ce qui signifie qu'il n'existait aucune longueur caractéristiques ou privilégiée. Ainsi le spectre était une loi de puissance de la forme . On voit que la connaissance d'une seule quantité, l'indice , procure beaucoup d'information. Le spectre de puissance est donc un outil très puissant et est extrêmement utilisé en cosmologie, notamment dans les simulations numériques.
Le but de cet exercice est de relier de manière précise le spectre de puissance à la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation du champ de densité.
Difficulté : ☆☆☆ Temps : 25 min
On définit le contraste de densité par , où est la densité et la densité moyenne.
On travaille dans une boîte d'univers isotrope et plat de côté L (les mesures étant faites à partir d'observations, seul l'univers proche est accessible), on peut donc exprimer le champ de contraste de densité comme une série de Fourier:
, où le vecteur est tel que avec .De même pour et .
On définit la fonction d'autocorrélation du champ de densité par :
, où la valeur moyenne s'effectue sur le volume de la boîte.
Exprimer la fonction d'autocorrélation en fonction de .
Ramener la double somme obtenue à une seule.
Le passage de la somme en intégrale donne , où le facteur a été introduit par commodité. On définit le spectre de puissance comme : .
Calculer la partie angulaire de l'intégrale (en coordonnées sphériques, intégrer selon et ) et exprimer le résultat en fonction du spectre de puissance. Si on inverse cette relation, on trouve que .
Les relevés de galaxies tel le SDSS, permettent, grâce à des modèles de profils de masse autour des galaxies, de remonter à une estimation du champ de densité. Après avoir calculé son autocorrélation, on peut donc calculer son spectre de puissance et le comparer à la théorie.
pages_ser-fourier/spec-ex.html
Le champ étant réel, les coefficients obéissent à la relation de conjugaison .
Le terme en s'annule en moyenne sauf pour . Il reste
La fonction étant une fonction réelle, .
L'univers étant isotrope, le spectre de puissance l'est aussi. Par conséquent, où .
d'où, .