Théorie Spectrale : Page pour l'impression

Auteur: Arnaud Beck

Un plasma est un gaz dont les constituants, au lieu d'être neutres, sont électriquement chargés. Cela en fait un milieu bien plus complexe qu'un fluide traditionnel.

Dans un gaz normal, toutes les perturbations se propagent de la même manière et à la même vitesse. Ainsi, si quelqu'un fait vibrer un gaz à un point A, cette vibration va se propager jusqu'au point B à la vitesse du son, indépendamment de la fréquence de la vibration. Ce sont les ondes sonores.

Dans un plasma, les interactions entre particules chargées permettent à un grand nombre d'ondes différentes d'exister. Chacune de ces ondes propage des perturbations qui peuvent être de natures différentes (charge, pression, champ électrique, champ magnétique ...) et ont des vitesses différentes qui dépendent, entre autres, de la fréquence de la perturbation.

Dans cet exercice, on propose de retrouver la relation de dispersion d'une de ces ondes de plasma appelée "Onde de Langmuir". De telles ondes sont créées lorsqu'on écarte localement le plasma de la neutralité de charge. On cherche donc à savoir comment cet écart à la neutralité va se propager dans le plasma.

Ex: Onde de Langmuir

Auteur: Arnaud Beck

Relation de dispersion

Difficulté : ☆☆ Temps : 1h

Un plasma est constitué d'ions et d'électrons. Les ions étant largement plus lourds, nous allons les supposer immobiles dans le développement qui suit. Considérons qu'ils sont répartis uniformément dans l'espace avec une densité n_0 .

L'onde de Langmuir étant la propagation d'une perturbation électrostatique (écart à la neutralité mais sans création de courant électrique à grande échelle), nous pouvons, pour simplifier le problème, supposer l'absence de champ magnétique.

A l'équilibre, les électrons sont eux aussi immobiles et uniformément répartis avec une densité n_e=n_0 . Mais, que se passe t-il si on perturbe cet équilibre en posant que n_e=n_0+n_1(x,t) , où n_1 est un petit terme perturbatif qui dépend de la position et du temps ?

Dans ce cas, un champ électrique E(x,t) se crée et met les électrons en mouvement à une vitesse u(x,t) .

Les équations qui gouvernent ensuite l'évolution de ces trois grandeurs (perturbation de densité, champ électrique et vitesse des électrons) sont l'équation de continuité, l'équation de conservation du moment dynamique et l'équation de Poisson:

$\frac{\partial n_1}{\partial t}+n_0\frac{\partial u}{\partial x}=0$

$m_en_0\frac{\partial u}{\partial t}=-en_0E-3T\frac{\partial n_1}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=-en_1/\epsilon_0$

où est la température moyenne des électrons, m_e leur masse, leur charge, et epsilon_0 la permittivité du vide.

Les équations ont été ici écrites à une dimension, dans la direction x. On suppose que les perturbations vont se propager dans cette direction sous la forme d'onde plane et donc que l'on peut écrire:

$E(x,t)=\tilde{E}exp(-i\omega t +ikx)$

$u(x,t)=\tilde{u}exp(-i\omega t +ikx)$

$n_1(x,t)=\tilde{n_1}exp(-i\omega t +ikx)$

où omega est la pulsation de l'onde et l'amplitude de son vecteur d'onde selon .

Question 1)

Écrire le système linéaire vérifié par les inconnues $\tilde{E}$ , $\tilde{u}$ et $\tilde{n_1}$ et ayant omega et comme paramètres.

Question 2)

Trouver la relation de dispersion de l'onde, c'est à dire une expression de omega en fonction de .

Question 3)

Si on prend le mouvement des ions en compte, le système d'équation change et on trouve une nouvelle relation de dispersion qui correspond cette fois à une onde acoustique ionique.

En utilisant la même méthode que précédemment, retrouver la fonction de dispersion d'une onde acoustique ionique à partir du système d'équations ci dessous. Les indices et indiquent l'espèce (électron ou ion).

$\frac{\partial n_{e1}}{\partial t}+n_0\frac{\partial u_e}{\partial x}=0$

$\frac{\partial n_{i1}}{\partial t}+n_0\frac{\partial u_i}{\partial x}=0$

$m_en_0\frac{\partial u_e}{\partial t}=-en_0E-\gamma_e T_e\frac{\partial n_{e1}}{\partial x}$

$m_in_0\frac{\partial u_i}{\partial t}=en_0E-\gamma_i T_i\frac{\partial n_{i1}}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=e(n_{i1}-n_{e1}/)\epsilon_0$

où les gamma sont des constantes (rapports des chaleurs spécifiques de chaque espèce).

Filtrage de Wiener

Auteur: Jérôme Thiébaut

En astrophysique, les photos de galaxies sont prises par des caméras CCD fixées derrière un télescope. L'instrument d'observation, ici le télescope, laisse son empreinte sur l'image. A cela s'ajoute le bruit de mesure c'est à dire un signal autre que l'image elle même qui s'ajoute à celle-ci. Ce bruit est dû à la caméra.... On se propose dans cet exercice de montrer comment retrouver l'image la plus proche de l'image initiale, c'est à dire de déconvoluer et de filtrer l'image reçue afin de s'affranchir au maximum des effets de l'instrument d'observation et du bruit.

Ex: Filtrage de Wiener

Auteur: Jérôme Thiébaut

Filtrage de Wiener

Difficulté : ☆☆ Temps : 40mn

Question 1)

L'image reçue par le CCD est une collection de pixels que l'on rassemble sous la forme d'un vecteur . Ce vecteur resulte de l'image initiale, , qui a été convoluée par le télescope auquel s'ajoute un vecteur bruit noté . La convolution se modélise par l'application d'une matrice sur le vecteur . Ainsi on a: Y=AX+N . Dans l'espace de Fourier, cette relation s'ecrit: Y_k=A_k*X_k +N_k où k=((k_x* k_y)) représente la fréquence spatiale en deux dimensions. Dans cet espace, la matrice A_k est diagonale de valeur propre lambda_k . Le spectre de puissance de l'image suit souvent une loi de puissance, c'est à dire <X_k^2> =C_0* k^(-alpha) et le bruit est souvent un bruit blanc c'est à dire qu'il à la même intensité quelquesoit la fréquence spatiale, <N_k^2> =C , où et C_0 sont des constantes. Montrer que l'inversion simple de cette relation (qui consiste à appliquer la matrice A^(-1) sur les données afin de retrouver ) conduit, au delà d'une certaine fréquence, à une amplification du bruit.

Galaxie spirale M100

Image convoluée bruitée

Question 2)

On cherche donc maintenant à déconvoluer l'image mais aussi à filtrer le bruit. Pour cela, on va chercher le filtre à appliquer sur les données qui va minimiser l'écart quadratique moyen entre la vraie image et l'image filtrée accent(X;~)=R*Y . On cherche donc à minimiser la quantité S=<(accent(X;~)-X)^2> par rapport à . En postulant que le bruit et le signal sont décorrélés et que le bruit est non biaisé (pas d'erreur systématique), montrer que R=(A^T*C_N^(-1)*A+C_X^(-1))^(-1)*A^T*C_N^(-1) ,où C_X=<X^T*X> et C_N=<N^T*N> sont les matrices de variance-covariance du signal et du bruit.

Question 3)

Dans l'espace de Fourier, les matrices de variance-covariance sont diagonales également et se réduisent aux spectres de puissances. Montrer que le filtre de Wiener R_k inverse les basses fréquences et coupe les plus grandes où le bruit domine.