f est évidemment continue est dérivable deux fois puisqu'elle est la somme d'une fonction affine et de la fonction sinus. On a:

f'(x)=1-e\cos x.

Comme 0\le e < 1, on a bien f'(x) >0 pour tout x de \mathbb{R}.

De même on a:

f''(x)=e\sin x,

donc on a bien f''(x)\ge 0 pour tout x\in[0;\pi].