SOLUTION

Toujours du fait de la linéarité de l'équation différentielle décrivant l'évolution de ${\bf w}$ , si on note ${\bf w}(t)$ et ${\bf w}'(t)$ les évolutions respectives de ${\bf w}_0$ et ${\bf w}_1$ on a:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w}_0+{\bf w}_1)=\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln ||{\bf w}+{\bf w}'||$ .

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a: $||{\bf w}+{\bf w}'||\le ||{\bf w}|| + ||{\bf w}'||$ . Ainsi, la fonction logarithme étant croissante, on a:

$\chi({\bf x}_0,{\bf w_0}+{\bf w}_1)\le \lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln ( ||{\bf w}||+||{\bf w}'||)=\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t} \ln \left\Big\lbrack \max(||{\bf w}||,||{\bf w}'||)\cdot(1+\epsilon ) \right\Big\rbrack = \lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln \left\big\lbrack \max(||{\bf w}||,||{\bf w}'||) \right\big\rbrack$

où $\epsilon=\frac{{\rm min}\left(||{\bf w}||,||{\bf w'}||\right)}{{\rm max}\left(||{\bf w}||,||{\bf w'}||\right)}$ , ainsi $0\le \epsilon \le 1$ ce qui permet d'éliminer le facteur $(1+\epsilon)$ lors du passage à la limite (division par ).

Lorsque les limites existent on a:

$\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t} \ln \left\big\lbrack \max(||{\bf w}||,||{\bf w}'||)\right\big\rbrack = \max \left( \lim_{t\to +\infty} \frac{1}{t} \ln ||{\bf w}||,\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\ln||{\bf w}'|| \right)$ ,

Ce qui montre le résultat.