SOLUTION

Puisque M_N est antisymétrique, son rang est pair. C'est un résultat classique d'algèbre linéaire, non redémontré ici.

Par conséquent, pour des angles $\phi_i$ donnés, l'existence de solutions non-triviales (positives ou négatives) du système linéaire va dépendre de la parité du nombre de satellites.

Si N est impair, rk(M_N)=N-k avec impair. Ainsi, étant données des séparations angulaires arbitraires et non-nulles entre les satellites, il existe une famille à k paramètres de vecteurs (m_1,m_2,...,m_N) pour laquelle la configuration est stationnaire: étant données par exemple m_1 , m_2 , ..., m_k , le système linéaire admet une et une seule solution .

Remarque

Notons cependant que les masses doivent être positives pour que la solution correspondante ait un sens physique. Cela réduit les configurations angulaires possibles $\phi_1,...,\phi_N$ à un sous-ensemble de $[0,360^\circ[^N$ .

Remarque

En fait k=1 "presque partout". Dans l'espace des $\phi_i$ , l'ensemble pour lequel le rang de M_N est N-3 , N-5 ,..., est de mesure nulle. Ainsi étant donnée par exemple m_1 , il y aura une et une seule solution (m_1,m_2,...,m_N) pour laquelle $(\phi_1,...,\phi_N)$ est une configuration d'équilibre.