Calcul de la distance Terre-Lune
Difficulté : ☆
Introduction
Eclipse de soleil
Il est connu que pendant une éclipse de Soleil, la Lune vient se placer entre la Terre et le Soleil et cache presque exactement le Soleil aux observateurs terrestres. Cela est possible car depuis la Terre, la Lune et le Soleil ont le même rayon apparent. Soit 
le demi-angle sous lequel ces deux astres sont vus depuis la Terre (voir partie droite de la figure ci-dessous). Cet angle est connu directement par l'observation et vaut à peu près 0,25°.
Eclipse de Lune
Une éclipse de Lune se produit lorsque la Lune passe dans le cône d'ombre de la Terre éclairée par le Soleil (voir partie gauche de la figure ci-dessous). Soit 
l'angle d'ouverture de ce cône. Sa valeur est a priori inconnue. Aristarque de Samos avait observé que la largeur de ce cône au niveau de la Lune était de 3 diamètres lunaires.
Pour une question de lisibilité de la figure, la Lune n'a pas la même échelle sur la partie droite que sur la partie gauche. Les deux phénomène étant indépendants, cela n'a pas d'incidence sur le raisonnement.
, 
, 
et 
sont respectivement les positions de la Terre, de la Lune pendant une éclipse de soleil, de la Lune pendant une éclipse de Lune, et du Soleil. 
et 
sont les rayons terrestre, solaire et lunaire.
Exprimer 
et 
en fonction de 
et 
.
en fonction de 
, 
et 
.
Que dire de 
et 
si on suppose le Soleil très grand devant la Terre ?
quand 
Avec l'hypothèse précédente, calculer la valeur de 
(défini sur la figure).
en fonction de 
et 
.
En déduire 
et 
en fonction de 
.
et de hauteur 
est un rectangle.
or 
. On a donc 
et 
et 
sont alternes-internes et donc égaux.
. Par ailleurs, 
et 
d'après la question précédente.
et de hauteur 
. Le côté opposé à 
est de longueur 
d'après les observations d'Aristarque de Samos. Et d'après nos calculs précédents 
. En égalisant les deux hauteurs du rectangle on obtient donc 
.
et 