On trouvera dans cette partie les exercices suivants :
Auteur: Marc Fouchard
La loi de Planck montre que pour un corps noir, l'énergie émise par rayonnement suivant une longueur d'onde, ne dépend que de la température de surface du corps noir. Cette loi est donnée par la relation suivante :
:
où correspond à la vitesse de la lumière dans le vide,
est la constante de Planck,
la constante de Boltzmann,
la longueur d'onde à laquelle le rayonnement est émis et
la température de surface du corps noir.
La figure ci dessous montre le comportement de pour différente température de surface du corps noir. On peut remarquer que le maximum de la courbe se déplace sur la gauche lorsque la température augmente. Autrement dit, la longueur d'onde
pour laquelle le rayonnement émis est maximal diminue lorsque la température de surface augmente.
Loi de Planck
Le but de cet exercice est de trouver la relation exacte entre et
.
Cette exercice repose sur la détermation du maximum d'une fonction sur un intervalle donné.
Difficulté : ☆☆ Temps : 1h
Sachant que ,
et
sont des constantes strictement positives et que la température
étant mesurée en degré Kelvin est aussi strictement positive, montrer que
est de classe
sur
et est toujours strictement positive sur cet intervalle.
Montrer que les limites de quand
tend vers 0 et vers
sont toutes les deux égales à zéro.
En déduire qu'il doit exister un maximum pour sur
.
En effectuant le changement de variable , montrer qu'étudier le signe de
revient à étudier celui de
.
En déduire une condition sur , de la forme
, pour que
s'annule. On note
la solution de cette équation lorsqu'elle existe.
Montrer que est une application contractante sur l'intervalle fermé
.
En déduire l'existence d'un point fixe unique de dans cet intervalle. Constuire une suite récurente convergent vers ce point fixe. En déduire une valeur
qui soit une valeur approchée de
à
prêt.
En déduire la relation où
,
et
. Cette relation correspond à la loi de Wien pour les corps noirs.
Justifier l'utilisation de
dans le calcul de la constante
.
pages_pt-fixe/exo-loi-de-wien-pt-fixe.html
s'écrit comme un produit de fonctions ou composition de fonctions de classe
sur
, donc
est aussi
sur
. Et
est strictement positive puisque chaque facteur apparaissant dans
est strictement positif sur cet intervalle.
On pourra effectuer le changement de variable . Pour la limite en
on pourra faire un dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle.
car l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en
.
où on a utilisé le dévelopement limité en 0 à l'ordre 1 de la fonction exponentielle :
.
Les limites trouvées à la question précédente nous permettent de dire que ,
et
tels que
on a
et
et
on a
. Ainsi,
est une fonction continue sur l'intevalle
.
Or l'image d'un segment fermé par une fonction continue est un segment fermé. Ce dernier possède donc une borne supérieure qui est etteinte par sur
. Soit
ce maximum. On peut toujours choisir
pour que
, ainsi
sera aussi le maximum de
sur
.
ce qui montre bien qu'étudier le signe de
revient à étudier celui de
.
donc
.
Comme , et que
on a
. Ainsi la condition sur
. peut se mettre sous la forme
.
Pour tous et
dans l'intervalle
, on a
.
Application directe du théorème du point fixe dans . La suite est simplement définie par
avec
. Comme
, on a
. On remarque que
est un bon choix pour
.
On doit trouver la relation :