SOLUTION

Avant tout, on remarque que la fonction $\delta$ n'est pas définie si $\tilde{\phi}=\pi/2$ . On rappelle que $\tilde{\phi}=\pi/2-\phi$ , comme $\phi\in[-\pi/2,\pi/2]$ , c'est bien la seule valeur interdite pour $\tilde{\phi}$ . Cette valeur correspond donc à $\phi=0$ , c'est-à-dire à un point de l'équateur terrestre.

Pour tout autre latitude, $\delta$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ . On remarque que $\forall h \in \mathbb{R},\,\,\delta(h+2\pi)=\delta(h),\,\,\delta(-h)=\delta(h)$ donc la fonction $\delta$ est $2\pi$ périodique et paire. En outre on a aussi $\forall h \in \mathbb{R},\,\,\delta(\pi-h)=-\delta(h)$ , ainsi le point de coordonnée $(0,\pi/2)$ est un centre de symétrie pour la courbe représentative de $\delta$ .

Il suffit donc d'étudier $\delta$ pour $h\in[0,\pi/2]$ .

On a : $\delta'(h)=-\frac{\sin h \tan \tilde{\phi}}{1+\cos^2 h \tan^2 \tilde{\phi}}$ , ainsi le tableau de variation de $\delta$ sur $[0,\pi/2]$ est:

$\begin{array}{c|ccc} h & 0 & & \pi/2 \\ \delta' & 0 & \quad - \quad& -\tan\tilde{\phi}\\ \delta & \tilde{\phi} & \searrow & 0 \end{array}$

Ceci permet de tracer la courbe représentative de $\delta$ entre $[0,\pi/2]$ , puis on complète par symétrie centrale par rapport au point de coordonnées $(0,\pi/2)$ , puis par symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui permet de tracer la courbe entre $[-\pi,0]$ . On obtient alors la courbe entre $[0,2\pi]$ en utilisant la périodicité de $\delta$ .