(mP') et (mM) étant deux tangentes à \mathcal{S}, on a bien mP'=mM (facilement démontré en utilisant le théorème de Pythagore aux triangles mP'O et mMO). Les triangles P'mM et AMM'' sont en configuration de Thales. Comme mP'=mM on a bien AM=AM''. De même, les triangles OA'M' et OAM'' forment une autre configuration de Thales, donc : \frac{A'M'}{AM}=\frac{A'M'}{AM''}=\frac{P'A'}{P'A}. Ainsi A'M'=\frac{P'A'}{P'A}\cdot AM. Ainsi la distance A'M' est indépendante de la position du point M sur \mathcal{C}, tout comme l'est la distance AM. Donc le point M' se trouve sur un cercle de centre A'. On voit que tout le cercle est obtenu lorsque M décrit \mathcal{C}.