SOLUTION

Le point se trouvant sur l'horizon céleste, on a h=0 . La déclinaison étant dans l'intervalle $[-\pi/2,\pi/2]$ , elle est complètement déterminée par son sinus. Ainsi en utilisant la 4ème relation des équations données dans le préambule, on obtient: $\delta=\arcsin (-\cos \phi \cos A)$ , où la fonction $\arcsin$ est la réciproque de la fonction sinus. Comme cette fonction est à valeur dans $[-\pi/2,\pi/2]$ , $\delta$ est complètement déterminé par cette relation.

Connaissant $\delta$ , la 5ème relation des équations données dans le préambule, nous permet d'avoir $\sin H= \frac{\sin A}{\cos \delta}$ . Cette relation n'est pas définie pour les pôles ( $\delta=\pm \pi/2$ ), mais dans ce cas l'angle horaire n'est pas définie non plus. D'autre part, on sait que la projection du pôle céleste nord est le centre de la sphère , alors que le pôle céleste sud est le seul point de la sphère céleste pour lequel la projection n'est pas définie.

Soit $H_o=\arcsin\left(\frac{\sin A}{\cos \delta}\right)$ . On sait que $H_o\in[-\pi/2,\pi/2]$ , alors que est dans l'intervalle $[0, 2\pi]$ . Mais on sait que $\pi-H_o$ est aussi solution de l'équation pour $\sin H$ . Pour choisir quelle est la bonne solution, on doit utiliser la 6ème relation des équations données dans le préambule, qui nous permet d'avoir $\cos H=\frac{\sin \phi \cos A}{\cos \delta}$ . Mais seul le signe de cette quantité nous intéresse puisque $\cos H_o \ge 0$ , alors que $\cos (\pi - H_o)\le 0$ . Or comme $\delta\in]-\pi/2,\pi/2[$ (les pôles sont exclus), $\cos \delta > 0$ . Ainsi si $\sin \phi \cos A \ge 0$ , on prend H=H_o si $H_o \ge 0$ et $H=H_o+2\pi$ (qui est toujours solution, par périodicité, des deux équations que doit vérifier) si H_o < 0 . Et si $\sin \phi \cos A < 0$ , on prend $H=\pi-H_o$ si $\pi-H_o \ge 0$ et $H=\pi-H_o+2\pi$ si $\pi-H_o < 0$ .