Fonctions trigonométriques et inverses : Page pour l'impression

Auteur: Marc Fouchard

astrolabe

Astrolabe du XVI siècle.

Crédit : David Monniaux, licence : CC BY-SA 3.0

L'astrolabe est un outil astronomique permettant de représenter la partie du ciel observée en fonction de la date et de l'heure pour un lieu donné. Il permet ensuite de faire différentes mesures comme la détermination des heures de lever et de coucher d'un astre. Les applications de l'astrolabe sont pourtant très nombreuses. Pour avoir plus de détails, on pourra aller voir l'astrolabe.

La construction d'un astrolabe repose sur la projection stéréographique. Le but de cet exercice est d'étudier les propriétés principales de cette projection et d'en déduire l'image de points et de cercles caractéristiques de la sphère céleste.

Ce sont ces constructions qui ont permis de construire l'animation suivante.

astrolabe

sphère céleste

Sur une sphère céleste un point est repéré par une longitude et une latitude. La latitude correspond à un angle entre $[-\pi/2,\pi/2]$ donnant la hauteur au dessus d'un grand cercle de référence et en choisissant un côté positif (comme sur Terre, la latitude d'un lieu correspond à une hauteur au-dessus de l'équateur, comptée positivement dans l'hémisphère nord). Ce cercle de référence permet de définir l'axe des pôles et les pôles. La longitude correspond à l'angle, compris dans l'intervalle $[0,2\pi]$ , entre un méridien de référence et le méridien passant par le point considéré. Cet angle est mesuré sur le cercle de référence en choisissant un sens positif. Sur la Terre les longitudes sont mesurées à partir du méridien passant par Greenwich en prenant comme sens positif la direction de l'Ouest (ce qui correspond au sens des aiguilles d'une montre lorsqu'on regarde du pôle nord).

Dans notre cas, la sphère céleste $\mathcal{S}$ est une sphère de rayon unité (arbitraire), centrée sur l'observateur. Sur cette sphère on projette l'équateur terrestre, ce qui nous donne un grand cercle , appelé équateur céleste, le pôle nord se projette au point et le pôle sud au point , appelés respectivement pôle céleste nord et pôle céleste sud.

En astronomie différents ensembles de longitude et de latitude sont utilisés :

les coordonnées locales : le grand cercle de référence correspond à la projection de l'horizon sur la sphère céleste. Les pôles sont donc la direction de la verticale du lieu appelé zénith et la direction opposée appelée Nadir. Ainsi, la latitude correspond à une hauteur sur l'horizon céleste, notée et positive au dessus de l'horizon, et une longitude mesurée sur l'horizon céleste, appelée azimut et notée , en prenant comme méridien d'origine celui passant par le pôle céleste sud et comme sens positif vers l'ouest.
Les coordonnées horaires : définies par rapport à l'équateur céleste, avec une latitude, appelée déclinaison et notée $\delta$ , positive vers le pôle céleste nord, et une longitude appelée angle horaire et noté , avec comme méridien d'origine le méridien passant par le zénith et comme sens positif vers l'ouest.
Les coordonnées équatoriales :même latitude que le précédent mais la longitude, appelée ascension droite et notée $\alpha$ , est mesurée par rapport au méridien d'origine qui contient la position du Soleil au moment de l'équinoxe de printemps et le sens positif est le sens trigonométrique (vue du pôle nord). Cette position est appelé le point vernal et ce sens positif correspond au sens du mouvement annuel du Soleil.

La figure ci-dessous montre la correspondance entre ces différents systèmes de coordonnées. On remarquera aussi sur la figure le lien entre la position du zénith et la latitude terrestre du lieu.

sphère céleste

Les coordonnées utilisées en astronomie. Le grand cercle vert correspond à l'horizon céleste et le rouge à l'équateur céleste. La hauteur du pôle céleste nord sur l'horizon correspond à la latitude du lieu. Le point $\gamma$ correspond à la direction du point vernal.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

En un lieu de latitude $\phi$ on a alors les équations suivantes permettant de passer d'un ensemble de coordonnées à l'autre:

$\begin{array}{rcl}\sin h&=& \sin \phi \sin \delta + \cos \phi \cos \delta \cos H \\ \cos h \sin A &=& \cos \delta \sin H \\ \cos h \cos A &=& -\sin \delta \cos \phi + \cos \delta \sin \phi \cos H \\ && \\ \sin \delta &=& \sin h \sin \phi - \cos h \cos \phi \cos A \\ \cos \delta \sin H &=& \cos h \sin A \\ \cos \delta \cos H &=& \sin h \cos \phi + \cos h \sin \phi \cos A \end{array}$

Le lien entre l'ascension droite et l'angle horaire se fait en utilisant l'angle horaire du point vernal appelé temps sidéral, que l'on notera $\tau$ . On a la relation : $\tau=\alpha+H$ .

Ex : astrolabe

Auteur: Marc Fouchard

Astrolabe

Difficulté : ☆☆ Temps : 2h

Question 1)

L'astrolabe est basée sur la projection stéréographique d'une sphère sur un plan. On considère ici la projection de pôle céleste sud . Un point de la sphère aura pour image, le point intersection de la droite (P'E) avec le plan $\mathcal{P}$ passant par le centre de la sphère et perpendiculaire à la droite (PP') reliant les pôles. La figure suivante illustre cette projection.

projection

Projection stéréographique de pôle

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

Quelle est l'image du pôle ? Quelles sont les points invariants par cette projection ?

Question 2)

On définie un repère sur le plan $\mathcal{P}$ , centré en , l'axe des abscisses est dirigé vers l'origine des angles horaires sur l'équateur céleste et l'axe des ordonnées fait un angle de $\pi/2$ dans le sens trigonométrique vu du pôle céleste Sud. On utilisera alors un système de coordonnées polaires $(r,\theta)$ pour placer un point sur $\mathcal{P}.$

Soit un point de $\mathcal{S}$ , de coordonnées $(\lambda,\delta)$ où $\lambda$ est l'angle horaire et $\delta$ la déclinaison. Montrer que les coordonnées polaires de son image sont $\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\delta}{2}\right),\lambda\right)$ .

Question 3)

Montrer que la projection d'un cercle $\mathcal{C}$ passant par le pôle céleste Sud est une droite.

Question 4)

Soit et deux points de $\mathcal{S}$ . Soit $\mathcal{C}$ le cercle de $\mathcal{S}$ passant par ces points. On suppose que $\mathcal{C}$ n'est pas un grand cercle. Il existe donc un cône de sommet tangent à $\mathcal{S}$ en $\mathcal{C}$ . Soit l'image de par projection sur $\mathcal{P}$ . La droite (P'A) coupe le plan $\mathcal{P}$ en . Enfin, on appelle $\mathcal{Q}$ , le plan tangent à $\mathcal{S}$ en . La droite (AM) , coupe le plan $\mathcal{Q}$ en , et la droite (P'M) coupe le plan parallèle à $\mathcal{Q}$ passant par en M'' . La figure ci-dessous montre la construction.

projection d'un cercle

Projection d'un cercle.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard.

Montrer que Om=Mm . En déduire que AM=AM'' puis que $A'M'=\frac{P'A'}{P'A}\cdot AM$ . En déduire que l'image de $\mathcal{C}$ est un cercle.

Question 5)

On suppose maintenant que le cercle $\mathcal{C}$ est un grand cercle. Les tangentes en tout point de $\mathcal{C}$ sont maintenant parallèles. n'est plus défini, mais on peut encore construire le plan $\mathcal{Q}$ et le point . On appelle le point où la parallèle à (Mm) passant par coupe la plan $\mathcal{P}$ et M'' , le point où la droite (Mm) coupe le plan $\mathcal{P}$ . Voir la figure ci-dessous.

projection d'un grand cercle

Projection d'un grand cercle.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

Montrer que A'M'=A'P' . En déduire de nouveau que l'image de $\mathcal{C}$ est un cercle.

Question 6)

On définit un cercle $\mathcal{C}$ de $\mathcal{S}$ par son centre et son rayon qui correspond en fait à l'angle sous lequel est vu le rayon depuis le centre de la sphère $\mathcal{S}$ . On suppose que $z\in]0,\pi/2]$ . La figure ci-dessous illustre la situation.

cercle sur S

Cercle de $\mathcal{S}$ .

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

On considère le grand cercle passant par , ayant pour coordonnées horaires $(\lambda, \delta)$ , et , coupant $\mathcal{C}$ en et . Déterminer les coordonnées horaires de et .

Question 7)

Montrer que les images et de et sont diamétralement opposées.

Ceci permet donc de construire facilement la projection du cercle, puisque connaissant et on peut déterminer le rayon et le centre du cercle projeté.

Question 8)

la construction

Ces propriétés permettent de construire facilement des cercles de latitude constante par rapport à l'équateur, comme les tropiques.

On connaît les coordonnées du Zénith ( $\delta=\phi$ et H=0 ). Ainsi, il est facile de tracer la projection de l'horizon puisqu'il correspond à un cercle de $\mathcal{S}$ de centre et de rayon $z=\pi/2$ . De même différents cercles de hauteur constante par rapport à l'horizon peuvent être obtenus en changeant la valeur de (on prend $z=\pi/2-h$ ).

Les projections des méridiens par rapport à l'équateur sont aussi faciles à tracer puisqu'ils correspondent à des demi-grands cercles passant par le pôle céleste sud . Les projections correspondent donc à des demi-droites. On doit juste faire attention au fait qu'en astronomie le méridien d'origine par rapport à l'équateur correspond à celui qui contient le point vernal. Or, l'angle horaire du point vernal, appelé temps sidéral et noté $\tau$ , varie dans le temps. Ainsi les projections des méridiens équatoriaux vont tourner en même temps que $\tau$ .

On souhaite maintenant tracer la direction des points cardinaux Sud, Sud-Ouest, Ouest, Nord-Ouest, Nord, Nord-Est, Est, Sud-Est. Ces directions sont par définition sur l'horizon céleste, et leur azimut (voir la partie sphère céleste dans le préambule) respectives sont $0, \pi/4, \pi/2, 3\pi/4, \pi, 5\pi/4, 3\pi/2, 7\pi/4$ . On doit donc seulement calculer les coordonnées horaires de ces points pour pouvoir déterminer leur projection. Calculer donc les coordonnées horaires d'un point de l'horizon céleste d'azimut en un lieu de latitude $\phi.$

Question 9)

On veut maintenant construire la projection des méridiens par rapport à l'horizon céleste. Soit donc le méridien d'azimut et le méridien d'azimut $A+\pi$ . Justifier que ces deux méridiens forment un grand cercle $\mathcal{C}$ de $\mathcal{S}$ , dont on déterminera le centre sur $\mathcal{S}$ et le rayon. Ceci permet de construire facilement la projection des méridiens d'après ce qu'on a vu précédemment.

Question 10)

La trajectoire apparente du Soleil vue depuis la Terre est dans un plan appelé écliptique. L'inclinaison entre le plan de l'écliptique et le plan de l'équateur est constante et est appelée obliquité, notée $\varpi$ . Les variations de l'obliquité sont tellement faibles qu'on peut la supposer constante ici. La droite d'intersection entre ces deux plans passe par le point vernal et le centre de la sphère céleste $\mathcal{S}$ . En s'aidant d'un dessin, déterminer les coordonnées équatoriales, puis les coordonnées horaires du pôle de l'écliptique ayant une déclinaison positive.

Question 11)

En déduire la méthode pour construire la projection de l'écliptique.

Question 12)

On suppose que le mouvement apparent du Soleil sur l'écliptique se fait de manière uniforme . Sachant que le 22 Mars de chaque année, le Soleil se trouve au point vernal, et que le mouvement se fait à ascension droite croissante au cours de l'année, déterminer les coordonnées équatoriales du Soleil, en fonction de la date du jours. En déduire ses coordonnées horaires.

On utilisera la relation suivante valable dans un triangle sphérique de sommet A, B, C et de côté a, b, c (étant le côté opposé au sommet , etc.) où $C=\pi/2$ (voir la figure ci-dessous) : $\begin{array}{rcl}\sin b &=& \sin B \sin c \\ \tan a &=& \cos B \tan c \end{array}$ .

triangle sphérique

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard

Carte du ciel

Auteur: Marc Fouchard

Le but de cet exercice est de construire une carte illustrant la partie visible du ciel en un lieu donné en fonction de la date et de l'heure.

On peut voir dans l'animation ci-dessous le résultat final de cet exercice. L'horizon est fixe tandis que le fond d'étoiles fixes et le Soleil défilent à cause de la rotation de la Terre sur elle-même.

carte du ciel

Pour bien comprendre le but de l'exercice, il faut bien assimiler les deux sphères célestes qui interviennent ici. On pourra aller voir cette page où ces deux sphères sont présentées, ainsi que les 3 principaux systèmes de coordonnées utilisés en astronomie.

Ex : carte du ciel

Auteur: Marc Fouchard

Carte du ciel

Difficulté : ☆ Temps : 2h

Question 1)

L'exercice se fait en deux étapes, la première consiste à construire le profile de l'horizon, et la deuxième à placer sur cet horizon le fond d'étoiles fixes contenant la trajectoire apparente annuelle du Soleil.

On se place en un lieu de latitude $\phi$ . Dessiner sur une sphère céleste avec l'équateur céleste comme plan de référence, le pôle céleste nord, l'horizon céleste, et les points cardinaux Sud, Ouest, Nord et Est. On notera aussi le point d'intersection du méridien passant par les pôles célestes nord et sud et par le zénith avec l'équateur céleste. On notera le point opposé à sur l'équateur céleste.

On mettra en évidence les angles suivants sur la figure: la déclinaison $\delta$ d'un point de l'horizon céleste, la latitude, la colatitude $\tilde{\phi}= \pi/2-\phi$ , et l'angle entre la direction ouest et le méridien équatorial passant par ,et compté positivement vers .

Question 2)

En utilisant la formule suivante, valable dans un triangle sphérique (voir le dessin ci-dessous), déterminer la déclinaison $\delta$ de en fonction de et $\phi$ .

$\sin c \cot b = \sin A \cot B + \cos A \cos c$ .

triangle sphérique

Triangle sphérique: les côtés correspondent à des arcs de grands cercles. Comme la sphère céleste est de rayon unité, la longueur d'un de ces arcs correspond à l'angle sous lequel est vu cet arc depuis le centre de la sphère.

Crédit : Astrophysique sur Mesure / Marc Fouchard.

Question 3)

Au lieu de l'angle , on souhaite utiliser un angle associé au Soleil, appelé heure solaire vraie et noté . Cet angle est mesuré sur l'équateur céleste, à partir de la direction , et compté positivement vers l'Est. Ainsi, l'Est, et l'Ouest correspondent respectivement à $\pi/2$ , $\pi$ et $3\pi/2$ . Ecrire $\delta$ en fonction de .

Question 4)

Etudier la fonction $\delta : h \mapsto \delta(h)$ . On déterminera en particulier la valeur de $\delta$ et de sa dérivée pour h=0 et $\pi/2$ .

Question 5)

On souhaite maintenant déterminer l'équation de la trajectoire apparente annuelle du Soleil (qui est dans un plan appelé éclitpique) dans un repère où on a l'ascension droite en abscisse et la déclinaison en ordonnées.

La normale au plan de l'écliptique dirigée vers l'hémisphère nord a une direction constante par rapport à la direction du pôle céleste nord . L'angle entre ces deux directions est appelé obliquité est vaut $\varpi=23^\circ26'$ . Vu du pôle céleste nord, le Soleil décrit sa trajectoire dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire que son ascension droite augmente au cours du temps.

Faire un dessin de la sphère des fixes mettant en évidence l'équateur céleste, le grand cercle de l'écliptique et les coordonnées équatoriales du Soleil.

Question 6)

En déduire $\delta_\odot$ en fonction de $\alpha_\odot$ et de l'obliquité $\varpi$ .

Question 7)

Etudier la fonction $\delta_\odot : \alpha_\odot \mapsto \delta_\odot(\alpha_\odot)$ . On déterminera en particulier la valeur de $\delta_\odot$ et de sa dérivée pour $\alpha_\odot=0$ et $\pi/2$ .

Question 8)

Déterminer les coordonnées du Soleil, aux équinoxes et aux solstices.

Question 9)

Il s'agit maintenant de positionner les deux graphes l'un par rapport à l'autre. C'est le Soleil qui fait le lien entre les deux. Il faut d'abord placer le Soleil en fonction de la date du jours. Une fois celui-ci positionné, il est facile de placer le graphe de l'horizon pour une heure solaire vraie donnée, puisque l'abscisse du Soleil sur cette carte correspond à l'heure solaire vraie. Ainsi lorsque le temps s'écoule le graphe de l'horizon va glisser sur le graphe des étoiles fixes et de l'écliptique (ou l'inverse suivant comment on choisi la transparence).

Il faut faire attention au fait que pour le graphe comportant l'horizon céleste, l'axe des abcisses est orienté de la droite vers la gauche, alors que pour la carte des étoiles fixes avec l'écliptique, l'axe des abscisses est orienté de la gauche vers la droite. Les deux axes vont de 0 à $2\pi$ (en astronomie cependant on préfère noter les longitudes entre 0h et 24h).

Déterminer l'ascension droite du Soleil en fonction de la date du jours (ceci permet finalement de résoudre complètement l'animation présentée dans l'introduction à cet exercice).