Prérequis

Cadre de l'optique géométrique

Rayon lumineux

Objet et image, réel et virtuel

Stigmatisme et aplanétisme

Conditions de Gauss

Qu'est-ce qu'une lentille ?

Qu'est-ce qu'on appelle une lentille ? Par lentille, j'entends bien sûr une lentille en optique, et non l'une des espèces de fabacées. Prenons en deux exemples. Dans une main, une loupe, dans l'autre, une paire de lunettes pour myope. Elles sont toutes les deux en verre, transparentes, et délimitées par au moins une surface courbe, parfois deux.

Définition

Nous appellerons désormais une lentille sphérique une portion de MTHI (ici notre verre), limité par 2 dioptres dont l'un au moins est sphérique. Remarquons tout de suite qu'une lentille n'est par forcément sphérique. Il en existe, pour ne citer qu'elles, des cylindriques. Nous nous limiterons par contre, dans ce chapitre, aux lentilles sphériques.

Définition : les lentilles minces

Pour simplifier encore notre étude, nous nous limiterons au cas des lentilles dites minces. C'est-à-dire dont l'épaisseur est faible devant le rayon de courbure des dioptres.

Lentille mince

Une lentille est considérée comme mince lorsque son épaisseur est petite devant le rayon de courbure des dioptres et devant la distance entre les centres et .

Crédit : ASM/B. Mollier

Conséquence

La première conséquence, illustrée ci-dessous, est que tout rayon lumineux passant par le centre d'une lentille, ne sera pas dévié. En effet, c'est comme s'il traversait une lame de verre d'épaisseur nulle.

Lentille mince

Les rayons lumineux passant par le centre de la lentille, supposée mince, ne sont pas déviés.

Crédit : ASM/B. Mollier

Expérience 1 : une lentille au Soleil

Réalisons une petite expérience. Mettons une loupe au Soleil. La lumière est focalisée en un point. Très amusant pour mettre le feu à une feuille de papier. Mais si on essaie avec le verre de lunette... On a beau déplacer celui-ci, aucune tache de lumière ne se forme. Les rayons du Soleil ne sont pas focalisés par celui-ci. Aurions-nous à faire à deux types de lentilles ?

Expérience 2 : observation des rayons lumineux

Une deuxième expérience nous le confirme. Les lentilles de type loupe font converger la lumière. Les lentilles de type verre de lunettes pour la myopie font diverger les rayons lumineux.

Définitions : lentilles convergentes et divergentes

Dans le cas de la loupe, les rayons arrivant parallèles en amont sont focalisés en sortie de la lentille. Ce premier type de lentille est appelé lentille convergente.

Dans le cas du verre de lunette, les rayons s'écartent les uns des autres après passage par la lentille. Ils divergent. Ces lentilles sont appelées lentilles divergentes.

Différences entre les lentilles convergentes et divergentes

Si on regarde une coupe de ces lentilles, on voit d'où vient cette différence. On constate que les lentilles convergentes possèdent des bords plus fins que le centre. Pour les lentilles divergentes, c'est l'inverse, les bords sont plus épais que le centre.

Les différents types de lentilles

À gauche, les lentilles convergentes. À droite, les lentilles divergentes.

Crédit : ASM/B. Mollier

Lorsqu'un rayon arrivant au-dessus de l'axe de symétrie de la lentille (que nous appellerons axe optique) atteint la surface d'une lentille convergente, les lois de la réfraction nous disent qu'il est dévié vers l'axe optique. Le rayon se rapproche de celui-ci. Il converge.

Dans le cas d'un lentille divergente, le rayon incident est quant à lui dévié en s'écartant de l'axe optique.

Pourquoi une lentille convergente est convergente et vice et versa ?

Crédit : ASM/B. Mollier

Lentille convergente

• Une lentille convergente, comme son nom l'indique, fait converger un faisceau lumineux.
• Tout rayon arrivant sur la lentille se rapproche de son axe de symétrie, appelé axe optique.
• Ses bords sont plus fins que son centre.
• On la schématise par une double flèche dirigée vers l'extérieur.
• Une loupe, des verres correcteurs pour la presbytie ou l'hypermétropie, un oculaire de télescope constituent quelques exemples de lentilles convergentes.

Crédit : ASM/B. Mollier

Lentille divergente

• Une lentille divergente, comme son nom l'indique, fait diverger un faisceau lumineux.
• Tout rayon arrivant sur la lentille s'éloigne de l'axe optique.
• Ses bords sont plus épais que son centre.
• On la schématise par une double flèche dirigée vers l'intérieur.
• Des verres correcteurs pour la myopie sont un exemple de lentilles divergentes.

Crédit : ASM/B. Mollier

Lentille convergente utilisée comme une loupe

Prenons une lentille convergente. Utilisons la d'abord comme une loupe. En observant un objet (un timbre, par exemple) dans la direction perpendiculaire à lui, on peut obtenir, en plaçant judicieusement la loupe, une image nette et agrandie du timbre. Nous nous trouvons donc dans des conditions de stigmatisme et d'aplanétisme au moins approché. Si on s'amuse à déplacer un écran derrière notre lentille pour obtenir une image de notre timbre, c'est peine perdue. Nous avons donc une image virtuelle, l'objet étant tout ce qu'il y a de plus réel.

Lentille convergente utilisée comme un projecteur

Remplaçons cette fois le timbre par un objet rétroéclairé (les opticiens aiment bien utiliser un F éclairé par l'arrière). Plaçons un écran suffisamment loin de lui. Si on déplace la lentille, on trouve deux positions où l'on obtient une image inversée du F, tantôt plus grande, tantôt plus petite. On a donc cette fois-ci une image réelle. Tiens, une lentille convergente peut produire les deux types d'images à partir d'un objet réel. Nous allons détailler cela dans la suite.

Foyer principal image

Considérons un faisceau parallèle (objet à l'infini) et parallèle à l'axe optique (cas du Soleil à travers une loupe) et observons ce qui se passe. Dans le cas d'une lentille convergente, tous les rayons convergent en un point. Nous appellerons ce point foyer principal image. Ce point est l'image réelle d'un point situé à l'infini. Dans le cas d'une lentille divergente, tous les rayons divergent. Cependant, ils semblent tous provenir d'un point situé en amont de la lentille (il suffit de les prolonger). Nous appellerons également ce point foyer principal image. Il est l'image virtuelle d'un point situé à l'infini.

Qu'advient-il d'un faisceau parallèle au passage d'une lentille ?

Crédit : B. Mollier

Foyer principal objet

Par retour inverse de la lumière, si on place une source ponctuelle au foyer image, les rayons ressortiront parallèles. La lentille étant symétrique, on peut la retourner. Il existe donc un point où si l'on place une source ponctuelle, les rayons issus de ce point seront parallèles entre eux et parallèles à l'axe optique. Ce point est appelé foyer principal objet. Il est le symétrique par rapport à la lentille de foyer principal image. Dans le cas d'une lentille convergente, ce point est le point objet réel donnant une image à l'infini. Dans le cas d'une lentille divergente, ce point est le point objet virtuel donnant une image à l'infini.

Foyer principal objet

Le foyer principal objet est l'antécédent d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.

Crédit : B. Mollier

Distance focale image

On appelle distance focale image la distance séparant le centre de la lentille au foyer image. On la note . C'est une quantité algébrique, c'est-à-dire qu'on la compte positivement dans le sens de propagation de la lumière. est positif dans le cas d'une lentille convergente et négatif dans le cas d'une divergente.

Distance focale image

En vert, on définit la distance focale image comme étant la distance du centre de la lentille au foyer principal image . Notez le sens de la flèche. Dans le cas d'une lentille convergente, elle est dans le même sens que celui de la propagation de la lumière. Cette distance est alors positive. Dans le cas de la lentille divergente, cette flèche est dans le sens opposé à la propagation de la lumière. Cette distance est alors comptée négativement. Pour plus d'information sur ces notions de distances positives et négatives, lisez cette page.

Crédit : ASM/B. Mollier

Distance focale objet

De la même manière, on définit la distance focale objet comme étant la distance séparant le centre de la lentille et le foyer principal objet. Les deux foyers et étant symétriques par rapport au centre , on obtient .

Distance focale objet

On définit la distance focale objet comme étant la distance séparant le centre de la lentille et le foyer principal objet. Là encore, le sens des flèches à son importance. est négative dans le cas d'une lentille convergente et positive dans le cas d'une lentille divergente.

Crédit : ASM/B. Mollier

Vergence

On définit la vergence comme étant l'inverse de la distance focale image.

Elle s'exprime en ou encore en dioptrie (noté ). Par exemple, une lentille divergente de distance focale (correction pour une myopie sévère) possède une vergence de . C'est le nombre annoncé dans les ordonnances pour les lunettes.

Excusez-moi m'dame, où est la boulangerie ?

Dans la rue, quelqu'un vous demande où se situe la boulangerie la plus proche. Vous lui indiquez qu'elle est à 100 m. Oui, mais cette indication ne précise pas si elle est à 100 m devant ou derrière. Certes, en général, c'est implicite, ou accompagné d'un geste pour préciser la direction à emprunter. Cependant, en physique, il y a rarement quelqu'un pour nous indiquer le sens. Comment s'en sortir ? Si la boulangerie se situe devant nous, nous dirons effectivement qu'elle est à 100 m. Et si elle est derrière, qu'elle est à -100 m. C'est ce qu'on appelle des grandeurs algébriques. Il reste cependant encore un problème à régler. Si on se retourne, ce qui était devant devient derrière et inversement. Il faut en fait choisir un sens pour orienter nos mesures. Reprenons notre rue. Si elle est à sens unique, le plus simple est de choisir le sens de circulation des voitures pour orienter notre axe. Les distances dans le sens de circulation seront positives, et celle dans le sens opposé seront négatives.

Mesures algébriques

La boulangerie est située devant ? Elle est à + 100 m. Elle est située derrière ? Elle est à - 100 m.

Crédit : B. Mollier

Grandeurs algébriques en optique

En optique, ce sera pareil. Sauf que de circulation il n'est pas question. Mais nous prendrons pour orienter notre axe optique le sens de parcours des photons. Les distances orientées dans le même sens que l'axe optique seront comptées positivement (comme la distance focale image pour une lentille convergente), et celles dans le sens opposé seront comptées négativement (comme la distance focale objet pour une lentille convergente).

Traçons l'image d'un objet à travers une lentille convergente

On dispose d'un objet en amont de la lentille et du foyer objet. On cherche à tracer son image à travers la lentille.

1. On trace le rayon issu de et passant par . Il n'est pas dévié.
2. Il faut un deuxième rayon pour obtenir l'image de . En effet, dans les conditions de stigmatisme approché, deux rayons suffisent à définir un point image. On a le choix entre deux autres rayons. On trace par exemple le rayon issu de et parallèle à l'axe optique. Il ressort de la lentille en passant par le foyer principal image . Il croise le premier rayon en , image de par la lentille.
3. Par acquis de conscience, traçons un troisième rayon, et vérifions qu'il passe bien par . Traçons le rayon issu de et passant par le foyer principal objet . Il ressort parallèle à l'axe optique. On vérifie ainsi qu'il passe effectivement par le point .
4. Il nous reste à tracer l'image du point . On ne peut utiliser la même méthode que le point car tous ces rayons sont identiques et confondus avec l'axe optique. Comment s'en sortir alors ? Utilisons la propriété d'aplanétisme. On sait que est perpendiculaire à l'axe optique. L'image l'est également. est donc le point de l'axe optique à la verticale de . Le tour est joué.

Construction géométrique

Crédit : ASM/B. Mollier

Remarques

• L'image est inversée. On retrouve le deuxième cas décrit dans l'exemple décrit précédemment.
• L'image est réelle car en aval de la lentille.

On constate que

• L'image est dans le même sens.
• L'image est virtuelle car en amont de la lentille.
• L'image est plus grande que l'objet. On a affaire à une loupe.

Et si l'objet est à l'infini ?

Les cas traités précédemment concernaient des objets à distance finie. En astronomie, les objets sont situés à l'infini. Dans ce paragraphe, nous allons placer l'objet à l'infini. Il possédera un diamètre apparent .

Tracé de l'image

1. Comme les fois précédentes, on commence par tracer le rayon issu de et passant par . Il n'est pas dévié.
2. Nous ne pouvons utiliser le rayon parallèle à l'axe optique, car celui-ci n'existe pas dans ce cas. Tous les rayons issus de sont parallèles les uns aux autres. Nous pouvons cependant tracer le rayon parallèle au premier passant par le foyer objet. Il ressortira parallèle à l'axe optique. On constate qu'il coupe le premier dans le plan focal. C'est normal. Nous avons défini le plan focal image comme ceci.
3. Rappelons ici que tous les rayons parallèles au premier se croiseront dans le plan focal image.

Objet à l'infini

Crédit : ASM/B. Mollier

Remarque

Remarquons tout de suite que la taille de l'image (sur un détecteur CCD par exemple) est tout simplement le produit du diamètre apparent (en radians) par la focale de l'instrument.

Cas de la lentille divergente

Changeons de lentille pour passer aux lentilles divergentes. La différence par rapport aux cas précédents est que les positions des foyers objets et images sont inversées. Recommençons la procédure précédente.

Tracé de l'image

1. On trace le rayon issu de et passant par . Il n'est toujours pas dévié.
2. On trace le rayon issu de et parallèle à l'axe optique. Il ressort de la lentille en passant par le foyer principal image . Mais ce foyer est en amont de la lentille.
3. Par acquis de conscience, traçons un troisième rayon, et vérifions qu'il passe bien par . Traçons le rayon issu de et passant par le foyer principal objet . Il ressort parallèle à l'axe optique. On vérifie ainsi qu'il passe effectivement par le point
4. Il nous reste à tracer l'image du point . On ne peut utiliser la même méthode que le point car tous ces rayons sont identiques et confondus avec l'axe optique. Comment s'en sortir alors. Utilisons la propriété d'aplanétisme. On sait que est perpendiculaire à l'axe optique. L'image l'est également. est donc le point de l'axe optique à la verticale de .

Construction géométrique

Crédit : ASM/B. Mollier

On constate que

1)  L'image est :
dans le même sens que l'objet.
dans le sens opposé à celui de l'objet.

2)  L'image est :
réelle.
virtuelle.

Grandissement

Nous allons appeler grandissement le rapport des tailles de l'objet et de l'image.

En appliquant le théorème de Thalès, on trouve immédiatement que :

Remarque

Connaissant la distance de l'objet et de l'image, il est donc possible de calculer la taille de l'image.

Si le grandissement est positif, alors l'objet et l'image sont dans le même sens ; s'il est négatif, l'image est inversée par rapport à l'objet.

Si le grandissement est supérieur à 1, ou inférieur à -1, alors l'image est plus grande que l'objet. S'il est compris entre -1 et 1, l'image sera plus petite.

Grandissement : origines aux foyers

Et si on ne connaît pas la position de l'image ? Nous allons utiliser les foyers. En appliquant cette fois-ci le théorème de Thalès deux fois de chaque côté de la lentille, on obtient :

Crédit : ASM/B. Mollier

Et voilà, connaissant la distance focale et la distance de l'objet, on peut calculer le grandissement.

Relation de conjugaison de Newton (origines aux foyers)

Remarquons qu'à partir de ces deux formules, on va pouvoir calculer la distance de l'image.

Nous venons d'établir la relation de conjugaison de Newton. Elle est aussi appelée relation de conjugaison avec origine au foyer, car les distances de l'objet et de l'image sont comptées à partir des foyers principaux.

Une autre relation de conjugaison

Nous pouvons également obtenir une relation similaire, avec origine au centre de la lentille cette fois-ci. En partant de la formule du grandissement :

Relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)

On obtient ainsi la relation de conjugaison de Descartes :

Notations

Remarque, on note parfois les distances et respectivement et .

Les lentilles

Nous venons donc de voir qu'il existe deux types de lentilles minces : des lentilles convergentes, une loupe par exemple, qui ont la propriété de faire converger un faisceau lumineux ; des lentilles divergentes, comme des verres correcteurs de myopie, qui font diverger un faisceau lumineux.

Éléments cardinaux

Nous avons défini trois points particuliers d'une lentille : le centre , centre de symétrie de celle-ci, par lequel aucun rayon lumineux n'est dévié ; le foyer principal image, image d'un point situé à l'infini sur l'axe optique ; le foyer principal objet, antécédent d'un point situé à l'infini sur l'axe optique. Ces points sont appelés éléments cardinaux de la lentille.

Distance focale. Vergence

Les distances entre ces points sont appelées distances focales. Ce sont des données de la lentille. Elles caractérisent la vergence de la lentille, c'est-à-dire son pouvoir de dévier les rayons lumineux.

Tracés d'images

À l'aide de trois rayons, il nous est désormais possible de tracer l'image d'un objet à travers une lentille. Le rayon lumineux passant par le centre d'une lentille n'est pas dévié, celui arrivant parallèle à l'axe optique ressort en croisant le foyer principal image, et celui passant par le foyer principal objet ressortira de la lentille parallèle à l'axe optique.

Relations de conjugaison

Enfin, nous avons quelques relations qui nous permettront de calculer des tailles d'images, les distances où elles se forment et pourquoi pas des champs de vue et des grossissements. Ce sera pour bientôt.