Des lois de Newton aux lois de Kepler : Page pour l'impression

Objectifs

Si, historiquement, les lois de Newton ont été dérivées des lois de Kepler, on retrouve aujourd'hui les lois de Kepler comme application des lois de Newton.

Hypothèses

L'examen des masses des principaux objets du système solaire dévoile un poids lourd, le soleil, entouré d'un cortèges de petits objets, les planètes. Ceci définit le cadre des approximations usuellement faites pour décrire le mouvement d'une planète : on la considère de masse négligeable par rapport à la masse du soleil, et l'on néglige les interactions interplanétaires.

Force gravitationnelle.

Crédit : ASM

Le problème à 2 corps

Le problème se résume à l'interaction entre 2 corps, le soleil de masse et la planète de masse $m \ll M$ . Le référentiel d'étude est héliocentrique, de centre . On y repère la planète par le rayon vecteur $\mathbf{r} = r\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ . La planète subit de la part du soleil une force $\mathbf{F}$ , exprimée par :

$\mathbf{F} = -{ {\mathcal{G}} Mm\over r^{2}}\ \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$

L'étude complète du mouvement est un peu technique. La résolution par les formules de Binet ne sera pas menée dans ce cours ; un autre mode de résolution, introduisant le vecteur excentricité, est proposé en exercice.

Les lois de Kepler

La relation fondamentale de la dynamique permet de retrouver que la trajectoire est plane. Si l'on note ${ \mathbf{r}}_0$ et ${ \mathbf{v}}_0$ les position et vitesse de la planète à un instant donné, et P_0 le plan défini par ces 2 vecteurs, la relation annonce que l'accélération ${ \mathbf{a}}_0$ , colinéaire à ${ \mathbf{r}}_0$ , est également dans ce plan. Aucun terme d'accélération ne conduisant hors de ce plan, toute la trajectoire s'y inscrit nécessairement.

Comme il suffit que la force soit centrale pour que le moment cinétique du système soit conservé, la dérivation de la 2ème loi de Kepler est immédiate.

On retrouve enfin facilement la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un trajectoire circulaire. La démonstration en proposée en exercice.

Le vecteur excentricité

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 40 min

Une façon très performante de faire de la physique consiste à associer à une loi physique un invariant.

Pour une particule dans un champ de force gravitationnel, le champ de force étant à circulation conservative (voir la signification de ces termes dans le cours de physique), l'énergie mécanique se conserve ; la force étant centrale, le moment cinétique se conserve.

Le but de cet exercice est de montrer quel invariant est associé au fait que le module de la force gravitationnel varie comme l'inverse du carré de la distance. Il permet par ailleurs de retrouver l'équation de la trajectoire elliptique d'un satellite dans un champ de force central, moyennant un peu de gymnastique calculatoire. On considère un satellite, de masse , dans le champ de force central d'un corps de masse . On repère sa position par le vecteur radial $\mathbf{r} = r \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ . On note $\mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ le vecteur orthonormé normal au plan de la trajectoire, et portant le moment cinétique du satellite, tel que le trièdre $( \mathbf{u} _{\mathrm{r}},\ \mathbf{u}_\theta,\ \mathbf{u} _{\mathrm{z}})$ forme un trièdre orthonomé direct.

Question 1)

Exprimer les vecteurs accélération $\mathbf{a}$ et moment cinétique ${\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ dans la base ( $\mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ , $\mathbf{u}_\theta$ , $\mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ ).

Question 2)

On construit le produit vectoriel $\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ . Donner son expression en fonction du vecteur $\mathbf{u}_\theta$ .

Question 3)

Intégrer l'équation précédemment obtenue pour $\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ .

Question 4)

On multiplie scalairement l'équation précédemment obtenue par le vecteur position $\mathbf{r}$ . Montrer que ceci permet de retrouver l'équation de la trajectoire