Simulation: Onde d'Alfven


Auteur: Roch Smets

Date de création: 06/05/2002

Date de mise à jour: 13/06/2002

Introduction:

Cette appliquette permet de visualiser la propagation d'une onde d'Alfvèn dans un plasma magnétisé uniforme. Pour rendre le système le plus simlple possible, la géométrie est supposée à une dimension. Il y a une seule variable dans le système ; x . Les vecteurs gardent cependant leurs 3 composantes. Pour pouvoir faire de tels calculs, il faut commencer par écrire les équations de la MHD qui gouvernent l'évolution du système. Ensuite, avant d'intégrer numériquement ces équations, il faut les réécrire sans dimensions . Ensuite se pose le choix de l'algorithme qui va permettre d'integrer ce système correctement. Pour le système MHD idéal, l'algorithme de Lax-Wendroff est simple et bien adapté. Les conditions aux limites du code étant périodiques, les grandeurs physiques ont la même valeur aux deux extrémités. Avant de faire tourner l'appliquette, il ne reste plus qu'à initialiser les paramètres d'entrée de l'appliquette :
L'appliquette est disponible en suivant ce lien.
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Liste des paramètres de l'appliquette:



Les autres paramètres de la simulation sont fixés : la longueur de la boite est égale à 1, le pas de grille est égale à 0.01 et le pas de temps est égale à 0.005.

Equations MHD à 1 dimension
Comme cela a été présenté, un système MHD se compose de plusieurs équations : les équations constitutives du plasma et les équations du champ électromagnétique (équations de Maxwell). La résolution d'un tel système nécessite de résoudre toute ces équations en même temps dans la mesure ou elles sont couplées. Cette résolution peut se faire numériquement sous certaines conditions. Il faut pour cela utiliser un schéma numérique qui permette d'intégrer ces équations correctement. Un des schémas le plus simple et le plus étudié est le schéma de Lax-Wendroff. Il permet d'intégrer les équations aux dérivées partielles de la forme
@u @f ---- + ---- = 0 @t @x
où u et f sont des vecteurs dépendant de la position et du temps (cette forme particulière s'appelle encore forme conservative des équations). Pour simplifier le problème, on se place dans le cas à une dimension. Les gradients n'ont donc plus qu'une composante dans une direction que l'on nommera x . Pour les équations MHD, on arrive alors simplement après un peu d'algèbre au système

@t(r) = @x(rvx) 2 2 2 2 @t(rvx) = @x(rv x + P + B x/2m0 - B y/2m0 - B z/2m0) @t(rvy) = @x(rvxvy - BxBy/2m0) @t(rvz) = @x(rvxvz - BxBz/2m0) -2/3 -2/3 @t(P r ) = @x(P vxr ) @t(Bx) = 0 @t(By) = @x(vxBy - vyBx) @t(Bz) = @x(vxBz - vzBx)

L'équation sur Bx donne simplement que cette composante est constante. Il reste donc à intégrer un système de 7 équations à 7 inconnues pour lequel on a explicitement les composantes du vecteur u et f.



Equations sans dimension
De manière générale en simulation numérique, pour éviter les erreurs d'arrondis et pour ne pas travailler sur des nombres trop grand ou trop petits, on récrit le système en fonction de variables sans dimensions. La densité est alors normalisée à la valeur de la densité initiale (uniforme), le champ magnétique au champ statique uniforme initiale, les vitesses sont normalisées à la vitesse d'Alfvèn associée, la longueur est normalisé à une longueur caractéristique - la longueur de la boite de simulation - et la pression est normalisée à la pression initiale uniforme.

Algorithme de Lax-Wendroff
La résolution numérique d'une équation nécessite d'utiliser une grille aussi bien en espace qu'en temps : ainsi, les valeurs des champs u et f intervenant dans l'équation conservative ne seront connues que sur ces points grilles. L'algorithme de Lax-Wendroff est un algorithme de type saute-mouton (leap-frog) qui utilise deux grilles décallées en espace et en temps.
mhd.gif

Si l'on connait à l'instant n pair la valeur des champs u et f sur les points de grille pairs (indiqués par des cercles sur le schema), on en déduit les valeurs de u (et donc de f ) à l'instant n + 1 impair sur les points de grille impair (indiqués par des triangles) avec
n+1 n n n n u i = (1/2)[u i+1+u i- 1]- (Dt/2Dx)[f i+1 - f i- 1]
On construit ensuite les valeurs de u à l'instant n + 2 pair sur les points de grille pairs avec
n+2 n n+1 n+1 u i = u i- (Dt/Dx)[f i+1 - fi- 1 ]
Avec cette méthode, la valeur du vecteur u qui nous interesse ne sera connue qu'aux instants n pairs sur les points grille i pairs, et que la grille des indices spatiaux et temporelles impairs ne sert qu'à des calculs intermédiaires.