Image du disque autour d'un trou noir

Auteur: COUETDIC Jocelyn
Auteur: DUMAS Gaëlle
Auteur: FERRAND Gilles

Date de création : 24/02/04


Date de mise à jour : 08/03/04

Introduction

Cette applet permet de tracer l'image d'un disque d'accrétion géométriquement fin et optiquement épais en rotation képlerienne autour d'un trou noir de Schwarzschid. On peut en fait tracer 3 images :
  • l'image géométrique : iso-r
  • la carte du redshift : iso-z
  • la "photo" du flux (bolométrique) : iso-F
Toutes ces images sont animées : l'observateur tourne en boucle autour du trou noir (selon un axe passant pas son disque).


Rappels de cours

La physique du problème est présentée dans le cours Images et spectre d'un disque fin autour d'un trou noir

Liste des paramètres de l'applet

  • label : rMax
    type : nombre
    titre : rayon maximal du disque
    unités : rayon gravitationnel (Rg=M pour c=G=1)
    Rentrer ici la valeur du rayon externe du disque (typiquement rMax = 100 Rg, au maximum rMax = 180 Rg de part la taille du cadre). Rq1 : le rayon minimal d'un disque d'accrétion est toujours rMin = 6 Rg. Rq2 : le temps de calcul augmente rapidement avec rMax.
  • label : iso
    type : nombre
    titre : choix du tracé
    Cette liste déroulante permet de choisir parmi les 3 tracés : iso-rayons, iso-redshifts, iso-flux. Pour l'image géométrique l'intensité de rouge code la distance radiale r au trou noir : plus un point est brillant plus il est proche du trou noir. Pour l'image du redshift le code de couleur est le code usuel : noir si z = 0, rouge si z > 0, bleu si z < 0. Pour l'image du flux l'intensité de rouge code l'intensité du flux (intégré) de photons.
  • label : casePrimaire
    type : nombre
    titre : image primaire
    L'image primaire du disque est tracée ssi cette case est cochée.
  • label : caseSecondaire
    type : nombre
    titre : image secondaire
    L'image secondaire du disque (rayons provenant de "sous" le disque) est tracée ssi cette case est cochée. Si la case "image primaire" est aussi cochée, seule la partie de l'image secondaire non cachée par l'image primaire est visible. Décocher la case "image primaire" permet de visualiser toute l'image (théorique) secondaire.
  • label : discretisationTheta
    type : nombre
    titre : pas de discrétisation de theta
    L'angle de visée theta (angle entre la ligne de visée observateur - trou noir et la normale au disque d'accrétion) est automatiquement incrémenté au cours de la simulation. Ce curseur permet de régler son pas de discrétisation. Plus le curseur est vers la gauche, plus le pas est petit, donc plus la transition d'une image à l'autre est douce, mais plus il faut de temps (de calcul) pour faire un tour complet. Plus le curseur est vers la droite, plus le pas est grand, donc plus la rotation est rapide, mais plus les images sont saccadées. La valeur courante de theta est affichée sous l'image.

Mode d'emploi de l'applet

  • Image géométrique
    Le tracé des iso-r permet de voir les effets purement géométriques de déformation du disque.
    De face (theta=0*° ou theta=180*°) le disque circulaire apparait bien circulaire. L'inclinaison augmentant, il apparait comme une ellipse, ce qui est un simple effet de projection conforme à notre intuition. Mais lorsqu'on appoche de la tranche (theta=90*° ou theta=270*°) des effets purement relativistes apparaissent clairement.
    • Tout d'abord l'image primaire se "tord" vers le haut, prenant une forme très caractéristique de chapeau mexicain : les photons partant du bord du disque le plus éloigné sont "ramenés" vers nous par la masse du trou noir, et ce bord "résiste" ainsi à disparaitre.
    • D'autre part une image secondaire apparait du côté opposé, correspondant à la face normalement cachée du disque (mais dont les photons, qui partent en direction opposée à nous, sont là aussi "ramenés" vers nous par la masse du trou noir). Lorsqu'on observe le disque exactement par la tranche (theta=90*° ou theta=270*°), on ne voit que l'image secondaire qui forme un anneau d'Einstein.
    On note qu'après un passage par la tranche (theta=90*°ou theta=270*°) l'allure du disque se redéploie à l'identique mais est naturellement inversée.

    Images géométriques du disque
    Applet2_r_1.png Applet2_r_2.png Applet2_r_3.png Applet2_r_4.png Applet2_r_5.png Applet2_r_6.png Applet2_r_7.png Applet2_r_8.png Applet2_r_9.png Applet2_r_10.png
    De gauche à droite et de haut en bas, theta = 0°, 50°, 80°, 87°, 88°, 90°, 93°, 94°, 102°, 127°

    Crédit : Jocelyn Couetdic, Gaelle Dumas, Gilles Ferrand

  • Carte du redshift
    Le tracé des iso-z permet de mettre en évidence 2 effets de décalage spectral :
    • de face (theta=0*° ou theta=180*°) le disque est entièrement rouge, ce qui traduit un décalage positif : 1+z>1. Ceci est un effet de relativité générale du à la seule présence du trou noir : les photons émis vers nous doivent "lutter" pour s'échapper de son fort champ gravitationnel, d'où leur rougissement.
    • l'inclinaison augmentant, on voit apparaitre une dissymétrie gauche-droite qui traduit la rotation du disque : la partie bleue se rapproche de nous tandis que la partie rouge s'éloigne de nous. Lorsque theta dépasse 180*° et 360*°=0*° on note l'inversion gauche-droite des couleurs : on passe en effet alors de l' "autre côté" du disque. Dans tous les cas le côté rouge est plus intense que le côté bleu, ce qui est logique puisqu'on rajoute un effet équilibré sur un fond déjà rouge.
    Ces effets affectent l'image primaire comme l'image secondaire.

    Cartes du redshift
    Applet2_z_0.png Applet2_z_50.png Applet2_z_87.png Applet2_z_90.png
    De gauche à droite et de haut en bas, theta = 0°, 50°, 87°, 90°

    Crédit : Jocelyn Couetdic, Gaelle Dumas, Gilles Ferrand

  • Photo du flux
    Le tracé des iso-F donne une représentation réaliste de l'allure visuelle du disque.
    Comme F_obs=F_émis*((r))/(1+z)^4 où F_émis*((r)) est une fonction décroissante de r, on observe le cumul des effets déjà observés pour r et pour z (de façon d'autant plus nette que l'on observe le disque en incidence rasante) : déformation des contours + dissymétrie gauche-droite.


    Photos du disque
    Applet2_f_0.png Applet2_f_50.png Applet2_f_80.png Applet2_f_87.png Applet2_f_90.png Applet2_f_93.png
    De gauche à droite et de haut en bas, theta = 0°, 50°, 80°, 87°, 90°, 93°

    Crédit : Jocelyn Couetdic, Gaelle Dumas, Gilles Ferrand



Explications

Il s'agit de tracer l'image du disque sur la "plaque photo" d'un observateur situé à l'infini. Cette image est formée par les photons émis depuis la surface du disque. On profite du principe de retour inverse de la lumière pour la reconstituer en "lançant" un photon depuis chaque pixel de la plaque photo et en regardant à quel endroit du disque celui-ci tombe (s'il l'intercepte). La trajectoire d'un photon (géodésique) ne dépend que du paramètre d'impact b (écart au centre de la plaque par rapport à la ligne de visée). Cela amène naturellement à décrire la plaque en coordonnées polaires (b,symboles/grec-minuscules/alpha.png). A b fixé, selon la valeur de symboles/grec-minuscules/alpha.png seul change le point d'intersection de la géodésique avec le disque. D'où l'algorithme suivant : on discrétise le paramètre d'impact b de 0 à b_max, où b_max doit être choisi suffisamment grand pour avoir l'image complète du disque de rayon r_max (de part l'effet de lentille gravitationnelle du trou noir, on a en effet b_max > r_max; on peut prendre en première approximation bMax = r_max / sqrt(1-2/r_max)). Pour chaque b :
  • on discrétise symboles/grec-minuscules/alpha.png sur 2symboles/grec-minuscules/pi.png de telle sorte que Delta*alpha=cte, quelquesoitb, ce qui amène à poser alpha_n = (n/n_max)*2*pi avec n_max prop 2*pi*b
  • on pré-calcule les valeurs des angles d'interception gamma=phi_(alpha_n)=phi_n pour les différents symboles/grec-minuscules/alpha.png
  • on intègre la géodésique, c'est-à-dire qu'on incrémente symboles/grec-minuscules/phi.png en calculant le nouveau u=1/r à chaque pas (par une méthode de Runge-Kutta, cf. la première applet de tracé des géodésiques). A chaque fois qu'on rencontre un phi=gamma_n on relève la valeur du rayon d'impact r_n = 1/u. Le pas adaptatif de l'intégrateur permet de détecter les gamma_n avec précision : le pas est constant au début (pas_max=0.01*rad), et dès que phiest plus proche que pas_max du prochain gamma_n, on avance d'exactement pas=gamma_n-phi. Si r_min < r_n < r_max alors on a effectivement touché le disque. Sinon la valeur de r_n ne doit pas être relevée. Mais la géodésique a alors une seconde chance d'impact après un demi-tour du disque, à phi=gamma_n+pi. Si alors r_min<r_2,n<r_max on obtient un point r_2,n pour l'image secondaire. L'intégration de la géodésique (avance de phi) est arrêtée lorsqu'on sort du cadre du tracé.
  • Si on veut tracer le redshift on calcule z_n=z_n*((alpha_n;r_n;b)) .
  • Si on veut tracer le flux (observé) on calcule F_n=F_émis*((r_n))/(1+z_n)^4
A la fin de cette étape on dispose d'un cercle entier (à b=cte) de valeurs de r (ou de z ou de F) qu'on projette sur une grille cartésienne (x,y) (coordonnées naturelles de l'image affichée par Simulab). On dispose en fait de 2 jeux de valeurs r_n et r_2,n (ou z_n et z_2,n ou F_n et F_2,n), pour l'image primaire et l'image secondaire. On utilise l'un ou l'autre selon que la case "image primaire" ou "image secondaire" est cochée, et on réalise un OU exclusif si les 2 cases sont cochées (cad que l'image secondaire ne peut apparaitre là où il y a déjà une image primaire). La répétition de ce procédé sur tous les b jusqu'à b_max permet de reconstituer toute l'image sur la plaque photo.

Tout ce calcul est effectué pour un angle de visée theta donné (angle entre la ligne de visée et la normale au disque d'accrétion). Dès qu'une image complète a été calculée, le calcul est repris (automatiquement, par Simulab) pour une nouvelle valeur de theta. Cet angle est discrétisé sur 360° de façon non linéaire, de sorte que plus d'images soient calculées aux abords des incidences rasantes theta=90*° et theta=270*° où les effets relativistes sont les plus notables. Ainsi pour 0<theta<45*°, 135*°<theta<225*° et 315*°<theta<360*° on avance avec un pas Delta*theta=Delta*theta_0=cte (fixé par le curseur entre 5° et 45°), et pour 45*°<theta<135*° et 225*°<theta<315*° on a Delta*theta=Delta*theta_0/abs(tan(theta)).