De la expresión elemental del trabajo, se obtiene la expresión de la variación de energía potencial de interacción gravitacional sobre una etapa elemental :
2 G-m(r)----dm--- ' d _O_ = - '2 dr r
Con m(r) la masa acretada en el radio r y ' r una posición entre r y + oo . Una primera etapa de integración conduce a llevar la masa dm del infinito a la superficie :
integral ' r dr-- d_O_ = - G m dm +o o '2 r
El cálculo de la integral da []r -1 = - 1- r' oo r . De allí la variación del potencial :
2 G m dm GM 4 d_O_ = - ----------- = - 3 -------r dr r R6
después de sustituir m et dm por sus valores, obtenemos:
|_ _| integral GM 2r5 R 3 GM 2 _O_ = R d_O_ = |_ - 3---------- _| = - --------- 0 R6 5 5 R 0
Se encuetra el resultado clásico. La expresión es homogénea; la señal negativa indica que la formación de una concentración de materia ha liberado energía (o que se tiene que gastar energía para desmontar el objeto). [Puntos : 2]