La compresión gravitacional en el centro de una estrella

El objetivo del ejercicio es de estimar la constante de proporcionalidad de la compresión gravitacional. Vamos a suponer un modelo de distribución de masa volúmica simple pero que tiene en cuenta las altas densidades en el interior del planeta : .
Vamos a utilizar exponentes negativos. Estos exponentes conducen a una singularidad en el centro pero en nuestro caso no tiene consecuencias.

1) Determinar la relación entre la masa total y el radio exterior . Deducir la expresión del coeficiente en función de estas magnitudes. ayuda solución

2) Deducir la masa y el campo gravitacional en un punto de radio . ¿Qué condición en el exponente garantiza que el campo no diverge? ayuda ayuda solución

3) El equilibrio hidrostático da el gradiente de presión :

Deducir la presión central. ayuda solución

4) Discutir de la forma del resultado anterior. ¿ Qué pasaría para una distribución no uniforme ? ayuda ayuda solución

El objetivo del ejercicio es de modelizar la altura límite de una montaña sobre un planeta de masa y radio , para deducir la transición entre un objeto esférico y un objeto que se parezca más a un cacahuete, como los núcleos cometarios.
Se supone la montaña de forma cilíndrica, de sección y altura , en el campo gravitacional del planeta.

1) ¿ Cuál es la expresión del campo gravitacional . Determinar la energía suplementaria para añadir a la cumbre una masa , en función de y . ayuda solución

2) Deducir el valor límite de la altura , para el cual la capa añadida en la cumbre conduce a derretir una capa equivalente a la base de la montaña. Expresar en función del calor latente de fusión de las rocas . Hacer la aplicación numérica para la Tierra, con . ayuda solución

3) Las más altas montañas en la Tierra alcanzan 8.8 km en la Tierra (el Everest) y 27 en Marte (el monte Olimpo). Con la ayuda de los datos del calcotrón, verificar si la estimación precedente es correcta. solución

4) Suponiendo válido el resultado anterior y denotando la masa volúmica uniforme del planeta, deducir el radio mínimo de un planeta esférico con montañas de altura igual al radio del planeta. Hacer la aplicación numérica con la masa volúmica de la corteza terrestre de . ayuda solución