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Rapport signal à bruit

Le rapport signal à bruit conditionne toute observation. S'il est faible, on ne voit que du ... bruit.

Allure d'une raie en absorption, observée à différents rapports signal à bruit. L'identification de la raies peut être possible avec un rapport signal à bruit supérieur à 3.

Crédit : ASM

Détection et rapport signal à bruit

La détection d'un phénomène, comme par exemple une raie spectrale, nécessite un rapport signal à bruit typiquement supérieur à 3.

Simulation d'une portion de spectre en absorption, à rapport signal de bruit de 5 et 10. Un motif avec un rapport signal à bruit supérieur à 3 peut très bien être du bruit, et ne peut donc être identifié à quelque signal que ce soit. Si le bruit est strictement gaussien, on admet qu'une détection est certaine dès lors qu'elle sort de plus de 5 fois du niveau de bruit.

Crédit : ASM

Prérequis

Notions de probabilités et statistiques

Définition

On définit le rapport signal à bruit d'un signal comme le rapport des énergies du signal et du bruit. L'énergie du signal est représentée par sa valeur moyenne $\mu$ , et celle du bruit par l'écart-type $\sigma$ . Le rapport signal à bruit est donc :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {\mu\over \sigma}$

Si le signal est affecté d'un biais systématique , il faut en tenir compte dans l'estimation de ce rapport, et retirer au préalable sa contribution :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {\mu-b\over \sigma}$

La composante de biais peut être p.ex., pour un signal évoluant dans le temps, un signal parasite apparaissant à plus basse fréquence.

Addition des bruits

Si les différents bruits contribuant à un signal sont indépendants les uns des autres, leurs écarts-types s'ajoutent quadratiquement pour construire l'écart-type total :

$\sigma^2\ =\ \sum_i \ \sigma_i^2$

Il s'ensuit le rapport signal à bruit :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {\mu-b\over \sqrt{ \sum_i \sigma_i^2}}$

Détection et rapport signal à bruit

Identifier un spectre est d'autant plus aisé que le rapport signal à bruit est bon. En pratique, une raie a priori inconnue devient détectable pour un rapport signal à bruit supérieur à 5.

Spectre stellaire bruité

Allure d'une portion de spectre stellaire, en fonction du rapport signal à bruit.

Crédit : ASM

Evolution temporelle du rapport signal à bruit

Si le bruit est dominé par le bruit de photons, le rapport signal à bruit augmente avec la durée d'observation, comme le montre cette simulation.

Observation bruitée

La galaxie M31, imagée à différents niveaux de bruit.

Crédit : ASM

QCM

1) On doit estimer la composante de biais d'un signal :
avant celle de son écart-type
après celle de son écart-type
peu importe

2) La somme de deux signaux indépendants d'écart-type $\sigma_1$ et $\sigma_2$ a un écart-type de :
$\sigma_1+\sigma_2$
$\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
$\sqrt{\sigma_1\sigma_2}$

Bruit dominant

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On recueille le signal d'une cible stellaire. Le rapport signal à bruit s'écrit :

$\displaystyle{\mathrm{S}\over\mathrm{B}} \ = \ {N\over \sqrt{N + N _{\mathrm{f}}\Omega + \sigma^2 _{\mathrm{lec}}}}$

avec le nombre de photoélectrons reçus, $N _{\mathrm{f}}$ relié à un signal de fond, $\Omega$ la taille angulaire de la cible, et $\sigma _{\mathrm{lec}}$ le bruit de lecture

Question 1)

Identifier précisément les différents termes de bruit contribuant au rapport signal à bruit, en précisant leur écart-type.

Question 2)

Simplifier l'expression du rapport signal à bruit pour le cas d'un objet très brillant, puis pour un objet très peu lumineux. Identifier l'exposant qui caractérise la dépendance en du rapport signal à bruit.