Les coordonnées polaires, c'est simple a priori. Sauf que faire les mesures à partir de la surface de la Terre, et non du centre, change le point de vue. La Terre n'étant pas ronde, la définition des coordonnées angulaires par rapport à la verticale locale ne coincide pas avec une définition centrale.
Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min
Au milieu du XVIIIe siècle, les missions de La Condamine au Pérou et de Maupertuis au Laponie ont conduit à la mesure de la longueur d'un degré du méridien en Laponie (aux alentours de la latitude ) ainsi qu'au Pérou (vers ). Il s'agissait de lever une controverse concernant la "figure" de la Terre, c'est à dire sa forme : aplatie aux pôles, ou bien en forme de ballon de rugby ?
Expliquer pourquoi la longueur d'un degré le long du méridien diffère entre ces 2 régions. Faire un schéma.
La Terre étant aplatie aux pôles, le rayon de courbure local est-il plus important au pôle ou à l'équateur ? Quel degré de méridien correspond à la plus grande longueur ?
La longueur d'un arc de méridien d'ouverture s'écrit en fonction du rayon de courbure :
En représentation paramétrique, on repère un point de l'ellipse de révolution par
avec le paramètre marquant l'aplatissement. Le rayon de courbure s'écrit, au 1er ordre en :
[on peut retrouver ce résultat en appliquant la définition : , avec et ].
Les mesures pour tourner de 1 degré donnant respectivement 57395 toises en Laponie, et 56735 toises au Pérou (57097 au sud de Paris), en déduire un ordre de grandeur de l'aplatissement de la Terre, exprimé comme la différence relative entre les rayons au pôle et à l'équateur.
pages_complements-ephemerides/coordonnee-geocentrique-sexercer.html
Réfléchir au système de coordonnées utilisé.
Les mesures sont effectuées en coordonnées géographiques, les observateurs pouvant p.ex. s'appuyer sur la verticale locale, et non sur une hypothétique et inconnue direction pointant le centre de la Terre.
En raison de la non sphéricité, le rayon de courbure local varie, et donc la mesure d'un arc d'ouverture fixée.
Voir la figure de la question précédente.
Comme le rayon de courbure local est plus important au pôle, une rotation d'un angle géographique de 10 degré sera plus importante au pôle.
Identifier au pôle et à l'équateur, et y calculer .
Les rayons de courbures aux pôles ou à l'équateur valent respectivement :
Avec l'hypothèse que est petit, et les développements limités usuels, on trouve :
On en déduit que la différence relative des mesures, de l'ordre de 1.2%, correspond à 3 fois le paramètre . En effet :
d'où l'aplatissement de la Terre, de l'ordre de 0.4%, cad 1/250.