Le rayonnement thermique de la planète correspond, par hypothèse, à un rayonnement de corps noir de température T _{\mathrm{P}}.

Il vérifie :

\ell _{\mathrm{a}} = 4\pi R^2\ \sigma T _{\mathrm{P}}^4

Par ailleurs :

\ell _{\mathrm{a}} = (1-A) \ {R^2\over 4 a^2} L = (1-A) \ {R^2\over 4 a^2}\ 4\pi R_\star^2\ \sigma T_\star^4

On en déduit :

T _{\mathrm{P}}^4 = (1-A) \ { R_\star^2\over 4 a^2}\ T_\star^4

D'où le résultat à démontrer :

T _{\mathrm{P}} = (1-A)^{1/4} \ \left( { R_\star \over 2 a}\right)^{1/2}\ T_\star