La loupe et l'oculaire

Auteur: Benjamin Mollier

L'oeil et la loupe

Nous allons étudier, dans cette section, le système optique oeil + loupe. C'est, vous l'aurez reconnu, un doublet de deux lentilles convergentes.

Pourquoi étudier le système oeil + loupe ? Parce que tous les instruments d'optique subjectifs possèdent un oculaire, qui est équivalent à une loupe. Étudier ce système nous permettra de nous familiariser avec les notions de grossissement, de puissance, de netteté de l'image...

L'intérêt d'une loupe, d'un oculaire

definitionIntérêt de la loupe

Pour observer les détails d'un objet, il est nécessaire de le rapprocher le plus possible de notre oeil, au PP. Cependant, cela entraîne une fatigue de l'oeil, et, avec l'âge, ce point s'éloigne.

Utiliser une lentille convergente, une loupe, va nous permettre d'obtenir une image de taille angulaire plus grande que l'objet. On grossit l'image !

De plus, en plaçant l'objet au foyer de la loupe, l'image est à l'infini. L'oeil n'a pas besoin d'accommoder et ne se fatigue plus.

definitionIntérêt de l'oculaire

L'oculaire, qui est une sorte de loupe, permet de rendre subjectif l'objectif d'une lunette ou d'un télescope. Il renvoie l'image issue de ces derniers à l'infini, afin d'être vue par l'oeil, sans se fatiguer.

En fonction de leur focale, les oculaires permettent d'agrandir l'image de l'objet et de réduire ou d'augmenter l'angle de champ.

Rappel sur l'angle apparent

introductionAngle apparent

L'oeil est sensible à l'angle apparent d'un objet. En effet, il ne fait pas la distinction entre un objet proche et petit et un objet grand et lointain. Certes, le cerveau y arrive en interprétant diverses informations, comme la vision en 3 dimensions, ainsi que le paysage dans son ensemble, mais fermez un oeil, vous verrez que c'est tout de suite moins évident.

L'autre exemple est celui de la Lune et du Soleil, qui n'ont pas la même taille, mais qui ont le même diamètre apparent.

Le but d'une loupe, d'un oculaire, puis des systèmes comme les lunettes et les télescopes, est d'augmenter l'angle apparent.

definitionAngle apparent d'un objet à l'infini

Pour un objet à l'infini, l'angle apparent est directement l'angle sous lequel on voit l'objet. Pour mémoire, le diamètre apparent de la Lune et du Soleil est de 0,5°.

definitionAngle apparent d'un objet proche

S'il est proche, ce diamètre est donné par le rapport de sa taille par sa distance à l'oeil.

$$ \alpha = \arctan{\frac{AB}{d}}\approx\frac{AB}{d} $$

remarqueRemarque

Pour un objet proche, l'angle apparent dépend bien sûr de la distance à laquelle il se trouve.

Exercice : angle apparent

exerciceTour Eiffel

Question 1)

Quel est l'angle apparent de la tour Eiffel vue depuis l'esplanade du Trocadéro ?

Question 2)

Sur l'esplanade, de nombreux vendeurs à la sauvette peuvent vous proposer des tours Eiffel miniatures. À quelle distance doit-on se situer d'une petite tour Eiffel de 20\ cm pour obtenir le même angle apparent ?

L'image d'un objet à travers une loupe

introductionUtiliser une loupe

Je rappelle qu'une loupe est une lentille convergente. Pour fonctionner en "loupe", il faut placer l'objet entre le foyer principal objet et la lentille.

demonstrationConstruction de l'image

Construisons l'image d'un objet à travers une loupe.

Image à travers une loupe
instru-loupe.png
Crédit : ASM/B. Mollier

demonstrationAngle apparent de l'image

L'image est plus grosse et plus éloignée. Quel est alors son angle apparent ?

\alpha' = \arctan \frac{A'B'}{d'} \approx \frac{A'B'}{d'}

Cet angle dépend de la distance entre la loupe et l'objet, ainsi que de la loupe et l'oeil.

demonstrationCas limite : l'objet est au foyer

Plaçons nous plutôt dans le cas le plus reposant pour l'oeil (ainsi que le plus simple mathématiquement) : l'image rejetée à l'infini. Pour cela, il suffit de placer le foyer principal objet sur l'objet qu'on veut observer.

Objet au foyer
instru-loupe-obj-inf.png
L'objet est placé au foyer, l'image est à l'infini.
Crédit : ASM/B. Mollier

L'expression de l'angle apparent est alors immédiate

\alpha' = \arctan \frac{AB}{f'} \approx \frac{AB}{f'}

L'angle apparent dépend maintenant de la distance focale de la loupe, et uniquement de celle-ci. Plus cette distance est courte, plus grand sera l'angle apparent. On aimerait dire que, plus la loupe est convergente, plus elle grossit notre image. Mais que veut vraiment dire grossir ?

Le grossissement

definitionLe grossissement

On a à notre disposition deux diamètres apparents, l'un avec, l'autre sans la loupe (ou l'instrument subjectif en général).

On peut définir naturellement le grossissement G comme étant le rapport de ces deux quantités :

G = \frac{\alpha'}{\alpha}

Plus un instrument est grossissant (c'est-à-dire plus G est grand) plus grand sera le diamètre apparent de l'image.

Grossissement d'un objet à l'infini
instru-loupe-grosst-inf.png
Le grossissement est le rapport de l'angle apparent de l'image sur l'angle apparent de l'objet.
Crédit : ASM/B. Mollier
Grossissement d'un objet à distance finie
instru-loupe-grosst-fini.png
Le grossissement est le rapport de l'angle apparent de l'image sur l'angle apparent de l'objet.
Crédit : ASM/B. Mollier

attentionAttention

Ne pas confondre grossissement et grandissement !

Le grossissement commercial

introductionPosition du problème

Petit problème : pour un objet à distance d finie, le diamètre apparent \alpha dépend de la position de l'oeil. Or il serait bon d'avoir un grossissement ne dépendant que de l'instrument. Cela nous permettra de les comparer entre eux.

Le microscope ou la loupe sont des exemples de système optique grossissant des objets à distance finie.

definitionLe grossissement commercial

On définit alors le grossissement comme étant le grossissement que l'on obtient si l'objet est placé au PP, c'est-à-dire à 25 cm de l'oeil.

G_c = \frac{\alpha'}{\alpha(25\ \text{cm})} avec \alpha = \frac{AB}{25\ \text{cm}} = AB \times 4\delta

La puissance

definitionLa puissance

On définit également, pour le cas des objets à distance finie, la puissance de l'instrument, comme étant le rapport de diamètre apparent de l'image, sur la taille AB de l'objet :

P = \frac{\alpha'}{AB}

remarqueRemarques

Remarquons que G = P \times d

En astronomie, la distance d tend vers l'infini. La puissance est donc toujours nulle.

Si l'image est à l'infini, donc l'objet au foyer principal objet, la puissance est simplement la vergence de l'instrument : P(\text{au\ foyer}) = V = \frac{1}{f}

Latitude de mise au point

L'image formée par la loupe doit être située entre le PP et le PR pour être vue nette. Sa distance est comprise entre d_m et D_m.

definitionLatitude de mise au point

La latitude de mise au point est l'intervalle des positions de l'objet par rapport à la loupe tel que l'image soit visible par l'oeil de façon nette.

definitionProfondeur d'accommodation

La profondeur d'accommodation est la longueur de cet intervalle. C'est également la distance séparant les conjugués du PP et du PR par loupe. Elle dépend bien sûr de la position de l'oeil par rapport à la loupe.

demonstrationCalcul de la latitude de mise au point

Plaçons l'oeil au foyer principal image et déterminons la latitude de mise au point. La distance entre le foyer principal image et les PP et PR vaut respectivement :

\overline{F'PP} = -d_m et \overline{F'PR} = -D_m.

D'après la relation de conjugaison de Newton, la position des antécédents des PP et PR sont respectivement :

\overline{FA(PP)} = -\frac{f'^2}{d_m} et \overline{FA(PR)} = -\frac{f'2}{D_m}

On en déduit la latitude de mise au point :

latitude de mise au point = [-\frac{f'^2}{d_m}-f',-\frac{f'^2}{D_m}-f']

et la profondeur d'accommodation :

\Delta p = f'^2 (\frac{1}{d_m}-\frac{1}{D_m}) \approx \frac{f'^2}{d_m}

conclusionConclusion

La profondeur d'accommodation est proportionnelle à la distance focale. Plus une lentille est convergente, plus elle grossit l'image de l'objet, mais moins il est facile d'obtenir une image nette.

L'oculaire

De nombreux instruments sont équipés d'oculaires : télescopes, lunettes, microscopes...

Cet instrument comprend plusieurs lentilles, mais joue le rôle d'une loupe. Il est cependant plus puissant, corrige les aberrations optiques et chromatiques, possède un champ plus grand. Il peut parfois être équipé d'un réticule pour mesurer des tailles angulaires, des parallaxes ou viser...

Résumé

rappelLa loupe

Une loupe est une lentille convergente. Elle sert à grossir les objets. Une utilisation optimale consiste à placer son foyer sur l'objet visé. Son image est alors rejetée à l'infini. L'oeil n'a pas besoin d'accommoder et se fatigue moins.

rappelLe grossissement

Le grossissement est le rapport de l'angle apparent de l'image sur celui de l'objet :

G = \frac{\alpha'}{\alpha}

rappelLe grossissement commercial

Dans le cas d'objets placés à distance finie, on définit le grossissement commercial G_c comme étant le cas particulier du grossissement d'un objet situé à 25\ cm de l'oeil.

G_c = \frac{\alpha'}{\alpha(25\ \text{cm})}

rappelLa puissance

On a également défini la puissance P comme étant le rapport entre la taille de l'objet et le diamètre apparent de l'image.

P = \frac{\alpha'}{AB}

Réponses aux exercices

pages_instruments-oculaire/instru-loupe-aa-exo.html

Exercice 'Tour Eiffel'