Dynamique à N-corps
L'hypothèse 2-corps est bien commode... mais s'avère la plupart du temps trop restrictive, à toute échelle : systèmes planétaires, stellaires, galactiques...
Amas d'étoiles
La dynamique des étoiles de cet amas globulaire (NGC 6093) ne peut s'étudier
qu'en considérant l'ensemble des composantes.
Crédit :
HST
Exemple : les anneaux planétaires
La dynamique des anneaux planétaires nécessite un cadre formel plus complexe que le problème à 2 corps. Souvent, les satellites présentent des orbites résonantes, tels Prométhée et Pandore, gardiens de l'anneau F, avec une résonance 121:118 (Prométhée accomplit 121 révolutions quand Pandore n'en fait que 118).
Prométhée, Pandore, gardiens de l'anneau F
L'anneau F de Saturne est confiné par ses gardiens Prométhée et Pandore. L'action répétée du balayage des satellites conduit à repousser la matière qui aurait tendance à s'étaler radialement.
Crédit :
NASA
Perturbations
Les perturbations du problème à 2-corps, typiquement lorsqu'un 3e s'en mêle, ont conduit à de beaux résultats, comme par exemple la découverte de Neptune.
L'orbite d'Uranus apparaissant perturbée par rapport au mouvement attendu (képlérien autour du Soleil, déjà perturbé par les géantes Jupiter et Saturne), le calcul a permis de localiser le perturbateur,
en l'occurrence Neptune ainsi dévoilé.
Positions prédite et observée pour Neptune, perturbateur d'Uranus.
Crédit :
Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
L'écart entre les positions angulaires observée et prédite de Neptune résultait essentiellement de l'indétermination sur le demi-grand axe de sa trajectoire.
Calculs d'orbite de Neptune, et orbite réelle.
Crédit :
Bibliothèque de l'Observatoire de Paris
Prérequis
Mécanique newtonienne ; interaction gravitationnelle
Objectifs
Contrairement au problème à 2 corps,
les problèmes à 3 corps et N-corps ne sont pas analytiquement solubles.
Ils sont ici très simplement présentés.
Le problème à 3 corps
On devine que le problème à 3 corps, c'est le problème à 2 corps avec un
3ème que l'on n'arrive pas à négliger.
P.ex., l'évolution à long terme du système Terre-Lune doit tenir compte
du Soleil.
L'interaction entre 2 satellites autour d'une planète s'inscrit dans ce cadre également.
Le problème à N-corps
Le problème à N-corps va recouvrir tous les autres cas,
où l'approximation 2 ou 3 corps ne marche pas.
On note par exemple :
- La dynamique stellaire dans un amas
d'étoiles
- La dynamique stellaire dans une galaxie elliptique
- La dynamique dans un amas de galaxies
Modélisations numériques et méthodes statistiques permettent
une approche du problème à N-corps.
Résonances
Difficulté : ☆
Temps : 20 min
La dynamique des satellites et anneaux planétaires présente de nombreux cas de résonance, lorsque les périodes orbitales des différents objets sont dans des rapports simples, souvent du type 
.
L'orbite du satellite Galatea de Neptune a un demi-grand axe de 61953 km.
Les arcs d'anneaux de la planète Neptune occupent une orbite plus éloignée de 984 km.
Question 1)
Montrer que, si le rapport des demi-grands axes des anneaux et de Galatea s'écrit sous la forme 
, avec 
petit, alors le rapport des périodes vaut 
.
[1 points]
Question 2)
Déterminer la résonance en cause, en identifiant l'entier naturel 
tel que le rapport des périodes soit égal à 
. Montrer au préalable que 
.
[1 points]
Question 3)
Faire l'application numérique et identifier l'entier 
.
[1 points]