Le problème à 2 corps s'intéresse à 2 solides, assimilés à leur centre de masse, seuls à interagir. Ce problème est soluble analytiquement, relativement simplement, en travaillant dans le référentiel du centre de masse du système ; le reste de l'Univers étant oublié, le centre de masse est isolé et fournit un bon référentiel galiléen pour l'étude du mouvement.

• Tout d'abord, on peut montrer que le mouvement des 2 corps l'un autour de l'autre est plan. Ceci résulte du fait que le moment cinétique du système est constant, car l'interaction est centrale, toujours dirigée vers le barycentre du système.
• Ensuite, l'interaction gravitationnelle se traduisant par un "champ de force", il en découle que l'énergie du système est également constante.
• Enfin, le module de la force évoluant comme l'inverse du carré de la distance entre les 2 corps, un autre invariant apparaît. Cet invariant se traduit par le vecteur excentricité, et la trajectoire relative d'un corps par rapport à l'autre s'apparente à un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Cette trajectoire, dans le plan du mouvement, est définie par son demi-grand axe, de mesure a, et l'excentricité e.

C'est dans le cadre de plusieurs problèmes à deux corps (pour chaque couple planète-Soleil) que s'appliquent les lois de Kepler.

Dans le système solaire on trouve plus de deux corps et pour obtenir les mouvements des planètes avec une très bonne précision, il faut envisager un problème de N corps s'attirant mutuellement.

Le principe du problème des N corps de masse m_i Chacun des  N corps de masse m_i exerce sur le corps repéré par j une force proportionnelle au produit de leurs masses, et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Cette force s'écrit :

Crédit : CNRS/Jean-Eudes Arlot

Mais si on regarde d'un peu plus près, on se rend compte qu'on est en présence d'un très gros corps, le Soleil, mille fois plus massif que la plus grosse des planètes, Jupiter, entouré de petits corps tournant autour de lui. Chaque couple Soleil-planète est un problème à deux corps. On peut considérer en première approximation la masse m de la planète comme négligeable devant celle du Soleil (notée M) et la force subie par la planète est alors :

Le coefficient GM, produit de la constante gravitationnelle et de la masse du Soleil,  est alors le même pour toutes les planètes, ce que Kepler (1571-1630) avait remarqué sans le démontrer.

Dans le cas de N corps, on considérera que l'on a toujours des mouvements de deux corps deux à deux avec une perturbation par les autres corps entraînant une variation des paramètres de l'orbite elliptique du petit corps tournant autour du plus gros. C'est Lagrange (1736-1813) qui introduisit les équations décrivant ces mouvements perturbés.

Lorsque l'on veut quitter un corps céleste -la Terre par exemple- et échapper à son attraction, il faut vaincre les forces de gravitation et surtout éviter de retomber sur le sol. Deux cas se présentent :

• éviter de retomber sur le sol mais rester en orbite autour de la Terre : trajectoire fermée (cercle ou ellipse)
• quitter l'attraction terrestre en s'éloignant indéfiniment (trajectoire hyperbolique)

Crédit : CNRS / Jean-Eudes Arlot et ASM / Gilles Bessou

En première approximation, la trajectoire d'une pierre lancée depuis le sol est une parabole si on suppose la Terre plate et le centre d'attraction à l'infini. En réalité, la trajectoire est une ellipse dont le centre de la Terre est le foyer. Il faut circulariser l'orbite pour éviter que la trajectoire heurte la surface terrestre. Notons que l'altitude minimum pour satelliser un objet est de 300 km pour éviter le freinage par l'atmosphère terrestre.

• v > 8 km/s : la trajectoire est circulaire et ne heurte plus la Terre (trajectoire T1)
• v < 8 km/s : la vitesse est insuffisante et l'objet retombe sur Terre (trajectoire T0)
• 8 km/s < v < 13 km/s : la trajectoire est une ellipse dont le périgée correspond au point de lancement (trajectoire T2 fermée)
• v > 13 km/s : la trajectoire n'est plus fermée ; le mobile va s'éloigner à l'infini sur une trajectoire hyperbolique

Sur l'orbite décrite par un corps autour d'une masse centrale, on va trouver des points d'équilibre utiles pour les satellites artificiels d'observation : les points de Lagrange.

Pour obtenir une modélisation des mouvements dans le système solaire, on va partir du problème simplifié dans lequel les trajectoires des planètes sont des ellipses mais les éléments de ces ellipses vont varier au cours du temps. Cette ellipse de base est appelée ellipse osculatrice. Pour chaque planète on va considérer un problème à deux corps perturbé par les autres planètes. C'est Lagrange (1736-1813) au XVIIIème siècle qui a posé les équations du problème. Lagrange a aussi noté que dans un système à deux corps, il existait des positions d'équilibre où des corps supplémentaires pouvaient rester captifs. Ces positions sont appelées aujourd'hui les points de Lagrange du système à deux corps. La figure ci-dessous montrent l'emplacement des 5 points L1, L2, L3, L4, L5. Seuls les points L4 et L5 sont des points d'équilibre stables. Des astéroïdes sont piégés sur ces points de l'orbite de Jupiter et de celle de Mars. Les points L1 et L2 de la Terre permettent d'installer des télescopes d'observation (SOHO, un satellite d'observation du Soleil en L1 et bientôt GAIA, un satellite d'observation astrométrique de la galaxie en projet en L2). Les points L1 et L2 sont à 1,5 millions de kilomètres de la Terre.

Les points de Lagrange L1, L2, L3, L4 et L5 par rapport à l'orbite   d'une planète P autour du Soleil S. Seuls L4 et L5 sont stables.   Les angles (SP, SL4) et (SP, SL5) font chacun 60°.

Crédit : CNRS / Jean-Eudes Arlot

Un satellite géostationnaire est vu immobile depuis la surface de la Terre : pourquoi ? Non pas parce qu'il est réellement immobile par rapport à la Terre, mais parce qu'il tourne à la même vitesse que la Terre autour de son axe. Il doit faire une révolution en 24 heures ! (en fait en 23 heures 56 minutes 4 secondes qui est la période de rotation sidérale autour de la Terre).

Période de révolution selon l'altitude Altitude 100 000 km : 3,5 jours Altitude 36 000 km : 24 heures Altitude 300 km : 1 heure et demie

Crédit : CNRS / Jean-Eudes Arlot

Les sondes spatiales utilisent le "rebond" gravitationnel pour aller plus loin et plus vite, en économisant du carburant, nécessaire pour échapper à l'attraction terrestre. On utilise pour cela les lois de Kepler et le mouvement des deux corps : la sonde va suivre un mouvement képlérien par rapport à un corps central A, la Terre, par exemple. Le corps A est prépondérant et on va mettre la sonde sur une orbite elliptique dont l'apogée est proche d'un autre corps que l'on va utiliser. A l'apogée (point de l'orbite le plus éloigné du corps A), la présence prépondérante du corps B va modifier la trajectoire de la sonde. Des petites manoeuvres vont permettre de mettre la sonde sur une nouvelle orbite elliptique centrée sur le corps B pour lui permettre d'avoir une nouvelle trajectoire.

Ce principe est couramment utilisé par les sondes qui doivent se diriger vers l'extérieur du système solaire (planètes Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune).

Crédit : CNRS / Jean-Eudes Arlot

Crédit : NASA/C. J. HAMILTON

Les planètes géantes présentent la particularité d'être entourées d'anneaux. Saturne possède le plus spectaculaire. La formation d'un anneau est le résultat des collisions entre une mutlitude de petits cailloux en orbite autour de la planète. Ces petites particules de roche et de glace étant en rotation autour de la planète, elles s'organisent sous forme d'un disque plat. 

Les divisions - espaces vides - qui apparaissent à l'intérieur d'un même anneau, sont longtemps restées inexpliquées. C'est la découverte de petits satellites orbitant dans ces espaces vides qui nous ont fournis l'explication.

Ci-contre, on a représenté un satellite orbitant dans une des divisions d'un anneau.

Premier temps : une particule se détache de l'anneau et pénètre dans la division ; elle s'approche du satellite.

Crédit : ASM

Deuxième temps : le satellite va modifier la trajectoire de la particule (mouvement des deux corps) et augmenter l'excentricité de sa trajectoire. Elle retournera donc dans l'anneau.

Crédit : ASM

Troisième temps : de retour dans l'anneau, la particule subira de nouveau des collisions qui vont circulariser son orbite et lui éviter de retourner dans la division.

Crédit : ASM

Ainsi, on a l'impression que le satellite repousse les cailloux hors de la division. Il n'y a pas d'effet de répulsion : tout est conforme aux lois de la gravitation universelle.