Les relations de conjugaison : Page pour l'impression

Comme pour les lentilles, nous allons démontrer une série de relation de conjugaison, qui nous permettront d'effectuer des calculs de position et de taille d'image.

Nous les démontrerons à partir des constructions géométriques. Puis nous les comparerons à celles obtenues pour les lentilles minces. Oui, je cherche à vous convaincre que ces deux systèmes optiques sont équivalents.

Grandissement

La définition du grandissement $\gamma$ dans le cas d'un miroir sphérique est la même que pour les lentilles minces. Il s'agit du rapport entre la taille de l'image A'B' et celle de son antécédent .

$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$

Grandissement dans le cas d'un miroir sphérique concave

Crédit : ASM/B. Mollier

Expression du grandissement avec origine au sommet

En appliquant le théorème de Thalès, on trouve immédiatement que :

$\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}$

Remarque

Connaissant la distance de l'objet et de l'image par rapport au sommet , il est donc possible de calculer la taille de l'image.

Exercice : grandissement

Auteur: B. Mollier

Grandissement

Difficulté : ☆ Temps : 10 min

Voici trois nouvelles constructions :

Construction 1

Crédit : ASM/B. Mollier

Construction 2

Crédit : ASM/B. Mollier

Construction 3

Crédit : ASM/B. Mollier

Question 1)

Calculez le grandissement dans chacun des trois cas.

Relation de conjugaison de Newton

Grandissement : origines aux foyers

Et si on ne connaît pas la position de l'image ? Nous allons utiliser les foyers. En appliquant cette fois-ci le théorème de Thalès deux fois avec deux rayons différents, on obtient :

$\gamma = \frac{\overline{FS}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'S}}$

En introduisant les distances focale objet et image , on obtient :

$\gamma = -\frac{f}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'}$

Crédit : ASM/B. Mollier

Et voilà, connaissant la distance focale et la distance de l'objet, on peut calculer le grandissement.

Relation de conjugaison de Newton (origines aux foyers)

Remarquons qu'à partir de ces deux formules, on va pouvoir calculer la distance de l'image.

$\overline{FA}.\overline{F'A'} = f'^2 = f^2$

Nous venons d'établir la relation de conjugaison de Newton. Elle est aussi appelée relation de conjugaison avec origine au foyer, car les distances de l'objet et de l'image sont comptées à partir des foyers principaux.

Remarque

Au signe près, elle est identique à celle des lentilles minces.

Aurait-on pu retrouver cette relation justement à partir de celle établie au chapitre sur les lentilles ? Oui, si on se souvient qu'il suffit de "plier" notre dessin pour passer des lentilles aux miroirs. Le pliage change le signe de $\overline{F'A'}$ . Ce qui explique la perte du signe dans la relation de conjugaison de Newton.

Exercice : formule de Newton

Auteur: B. Mollier

Narcissisme

Et si on s'admirait devant un miroir ? On dispose d'un petit miroir de poche, de distance focale $f = -1\ m$ . On place notre visage à $20\ cm$ de ce dernier.

Question 1)

Quelle est la taille de notre reflet ?

Question 2)

Quelle est sa position ?

Relation de conjugaison de Descartes

Une autre relation de conjugaison

Nous pouvons également obtenir une relation similaire, avec origine au sommet du miroir cette fois-ci. En partant de la formule du grandissement :

$\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = \frac{\overline{F'S}+\overline{SA'}}{\overline{F'S}} = 1 + \frac{\overline{SA'}}{\overline{F'S}}$

$-\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} = 1 - \frac{\overline{SA'}}{\overline{SF'}}$

Relation de conjugaison de Descartes (avec origine au centre)

On obtient ainsi la relation de conjugaison de Descartes :

$\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{1}{f'}$

Notations

Remarque, on note parfois les distances $\overline{SA}$ et $\overline{SA'}$ respectivement et .

$\frac{1}{p'} + \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}$

Là encore, les 2 relations de Descartes pour les lentilles et les miroirs ne se distinguent que par un signe . Le pliage, qui affecte tout ce qui se passe "à droite" de la lentille, change le signe de toutes les grandeurs algébriques situées en son aval. On change donc en -p' et en -f' ...

Exercice : relation de conjugaison de Descartes

Narcissisme (2)

Admirons nous encore !

Question 1)

Recalculez la distance de notre reflet en appliquant cette fois-ci la relation de conjugaison de Descartes.

Relation de conjugaison avec origine au centre

Si vous vous souvenez de la relation donnée quelques pages plus tôt : $2 \times \overline{SF} = \overline{SC}$ , on peut trouver d'autres relations de conjugaison.

Relation de conjugaison avec origine au centre

Partant de la relation de conjugaison de Descartes, avec origine au sommet, on obtient d'abord :

$\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}$

Puis en appliquant les relations de Chasles $\overline{SA} = \overline{SC}+\overline{CA}$ et $\overline{SA'} = \overline{SC}+\overline{CA'}$ , on montre que :

$\frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}}$

Remarque

On a établi plusieurs relations de conjugaison. vous n'êtes pas obligé de toutes les connaître. Une suffit. Apprenez celle avec laquelle vous vous sentez le plus à l'aise. De toutes façons, les autres se déduiront de la vôtre, ou se retrouvent à l'aide de petits dessins.

Résumé

Un petit résumé des relations de conjugaison précédemment établies.

Comparaison entre lentilles et miroirs
	Lentilles minces	Miroirs sphériques
grandissement	$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$	$\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}}$
grandissement	$\gamma = \frac{\overline{FO}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}$	$\gamma = \frac{\overline{FS}}{\overline{FA}} = \frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'S}}$
Relation de Newton	$\overline{FA}.\overline{F'A'} = -f'^2$	$\overline{FA}.\overline{F'A'} = f'^2$
Relation de Descartes	$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$	$\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{1}{f'}$
Relation de Descartes	pas d'équivalent	$\frac{1}{\overline{CA'}} + \frac{1}{\overline{CA}} = \frac{2}{\overline{CS}}$

Complément : le cas limite du miroir plan

Que se passe-t-il si on prend un miroir sphérique et qu'on fait tendre son rayon de courbure vers l'infini ? Il devient plat.

Nous devrions donc pouvoir retrouver les propriétés du miroir plan à partir de celle du miroir sphérique, en faisant tendre vers l'infini.

La première conséquence est que la distance focale tend également vers l'infini, puisqu'elle vaut la moitié de $\overline{SC}$ .

Miroir plan

Un miroir plan est un miroir sphérique de rayon de courbure infini.

Crédit : ASM/B. Mollier

Grandissement

$\overline{FS}$ et $\overline{FA}$ tendent vers l'infini. Or comme $\overline{FA} = \overline{FS} + \overline{SA}$ , la longueur $\overline{SA}$ devient très vite négligeable devant les deux autres. D'où $\overline{FA} \approx \overline{FS}$ et donc le grossissement tend vers 1.

$\gamma = 1$

On retrouve bien le fait que notre image dans un miroir a la même taille et est dans le même sens.

Position de l'image

Où se situe l'image ? Prenons la relation de conjugaison de Descartes. Si la distance focale tend vers l'infini, alors $\frac{1}{f'} = 0$ . On a donc :

$\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = 0$

soit

$\overline{SA'} = -\overline{SA}$ .

L'objet et l'image sont équidistants du miroir.

Conclusion

En faisant tendre le rayon de courbure vers l'infini, nous venons de démontrer que le miroir plan possède un grandissement de 1, et que image et objet sont équidistants du miroir, autrement dit, ils sont symétriques l'un de l'autre.