La définition de l'énergie potentielle est :

\Omega = -\int_0^R { {\cal G} m(r)\ {\mathrm{d}} m(r) \over r} =-\int_0^R \rho { {\cal G} m(r)\over r} \ 4\pi r^{2} {\mathrm{d}} r

On introduit le gradient de pression, via ce que donne l'équilibre hydrostatique, sans oublier au passage que {\mathrm{d}} m(r) = 4\pi \rho r^2 {\mathrm{d}} r :

-\int_0^R \rho { {\cal G} m(r)\over r} \ 4\pi r^{2} {\mathrm{d}} r = \int_0^R { {\mathrm{d}} P\over {\mathrm{d}} r} \ 4\pi r^{3} {\mathrm{d}} r

On en déduit :

\Omega = \int_0^R { {\mathrm{d}} P\over {\mathrm{d}} r} \ 4\pi r^{3} {\mathrm{d}} r