Supposons que le Soleil soit tout simplement une boule de gaz à l'équilibre hydrostatique. C'est-à-dire que le Soleil est une boule de rayon , au repos, et dont la température T , la densité ρ et la pression P ne dépendent que du rayon r où l'on se place.

Étudions un élément infinitésimal cylindrique de cette boule. Cet élément, situé à une distance r du centre du Soleil, est de section ds et de hauteur dr. Sa densité est celle du milieu environnant, ρ(r), et sa masse vaut dm = ρ(r) dr ds (voir figure ci dessous) :

Crédit : Arnaud Beck, LESIA

Trois forces s'exercent sur ce cylindre de gaz. Deux forces de pression P(r)ds et P(r+dr)ds ainsi que le poids du cylindre :

où est la constante universelle de gravitation et M(r) est la masse totale contenue dans la sphère de rayon r, soit :

avec

Supposer que le Soleil est au repos implique que la somme des forces s'exerçant sur ce cylindre est nulle. C'est-à-dire que la différence entre les forces de pression est exactement équilibrée par la force de gravité. On a donc l'équation d'équilibre hydrostatique locale :

Pour obtenir une équation globale, multiplions chaque membre de l'équation par le volume

et intégrons le résultat entre r=0 et r= .

Le membre de droite donne :

Où E_p est l'énergie potentielle gravitationnelle et l'énergie potentielle gravitationnelle totale du Soleil.

Le membre de gauche donne :

où P_centre est la pression au centre du Soleil et en supposant que la pression est nulle à sa surface. Une intégration par partie donne :

En faisant l'hypothèse des gaz parfaits on a : PV=Nk_BT où N est le nombre totale de particules dans le système et k_B la constante de Boltzman. En remarquant que l'énergie interne du système s'écrit , on peut récrire l'équation des gaz parfaits en :

où ρ_e est la densité volumique d'énergie interne. En la réinjectant dans l'équation précédente le membre de gauche donne finalement :

où est l'énergie interne totale du Soleil. Au final, l'équation d'équilibre hydrostatique intégrée donne donc :

.

Cela signifie que si le Soleil se contracte et que son énergie potentielle diminue de ΔE_p, son énergie thermique augmente de ΔE_T=ΔE_p/2 et le Soleil se réchauffe. Pendant une contraction, la moitié de l'énergie potentielle gravitationnelle en jeu est donc convertie en énergie interne. L'autre moitié est en fait évacuée sous forme de rayonnement.

Faisons maintenant l'hypothèse absurde que la couronne solaire est à l'équilibre thermodynamique. Cela se traduit par l'égalité entre l'énergie thermique et l'énergie cinétique des particules du milieu, ce que l'on peut écrire :

où m_p et <v_p²> sont respectivement la masse et la vitesse quadratique moyenne d'un proton dans la région considérée, k la constante de Boltzmann et T la température du milieu.

Si l'on se place dans la couronne, à une distance de 3 rayons solaires, où la température est estimée à 3 millions de Kelvin, on peut en déduire <v_p> :

On trouve donc <v_p²>^1/2 ≈ 2,7 10⁵ m.s^-1.

Calculons maintenant la vitesse d'évasion, grâce à l'équation :

Ce qui permet d'en déduire la vitesse d'évasion :

On trouve donc une vitesse d'évasion de 2,5 10⁵ m.s^-1. Légèrement inférieure à la vitesse thermique des protons du milieu. Cela signifie donc qu'une grande partie des particules s'échappe alors de l'attraction solaire, formant ainsi le vent solaire.

L'atmosphère du Soleil étant magnétisé, il est intéressant d'étudier la trajectoire des particules chargées en présence d'un champ magnétique. Nous considérons un champ magnétique uniforme dirigé suivant l'axe z. Nous considérons une particule dont les composantes de la vitesse sont suivant x et y. L'équation fondamentale de la dynamique décrivant le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique s'écrit :

Les quantité v et B sont vectorielles. En projetant cette équation, on obtient les équations suivantes :

Soit:

En tenant compte des conditions initiales différentes pour la composante x et y, on trouve :

Les composantes de la vitesse de la particule oscillent entre -V_c et +V_c à la fréquence de Larmor définit par :

Ces équations définissent donc une rotation de la particule dans le plan (Oxy) perpendiculaire à la direction du champ magnétique. Autrement dit, une particule se propage dans le champ magnétique suivant un mouvement de rotation dans un plan perpendiculaire à la direction du champ magnétique. Une particule accélérée se propage donc dans l'atmosphère solaire en suivant les lignes de champ magnétique. De même, les particules chargées émises par le Soleil se propagent dans l'espace interplanétaire en suivant les lignes de champ magnétique.

Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique

Trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique.

Crédit : Cyril Dauphin - Observatoire de Paris, LUTh

L'équation de la dynamique des particules chargées dans un champ électrique et magnétique s'écri t:

v, E et B sont des quantités vectorielles. En multipliant à droite et à gauche par v, on obtient :

Soit:

L'énergie cinétique vaut 1/2 mv². La variation d'énergie de la particule est donc uniquement due au travail du champ électrique. Étudier l'accélération des particules lors des éruptions solaires revient donc à comprendre l'apparition et le développement de champs électriques intenses dans l'atmosphère solaire. La théorie physique décrivant le couplage du plasma avec le champ magnétique prédit un développement turbulent du champ électrique aux petites échelles spatiales lors d'une éruption solaire.