L'intérieur du Soleil : Page pour l'impression

Supposons que le Soleil soit tout simplement une boule de gaz à l'équilibre hydrostatique. C'est-à-dire que le Soleil est une boule de rayon R_soleil , au repos, et dont la température T , la densité ρ et la pression P ne dépendent que du rayon r où l'on se place.

Étudions un élément infinitésimal cylindrique de cette boule. Cet élément, situé à une distance r du centre du Soleil, est de section ds et de hauteur dr. Sa densité est celle du milieu environnant, ρ(r), et sa masse vaut dm = ρ(r) dr ds (voir figure ci dessous) :

Crédit : Arnaud Beck, LESIA

Trois forces s'exercent sur ce cylindre de gaz. Deux forces de pression P(r)ds et P(r+dr)ds ainsi que le poids du cylindre :

$G(r)=\frac{\mathcal{G}M(r)dm}{r^2}$

où $\mathcal{G}$ est la constante universelle de gravitation et M(r) est la masse totale contenue dans la sphère de rayon r, soit :

$M(r)=\int_0^r dM(r_0)dr_0$

avec

$dM(r)=4\pi r^2\rho(r)dr$

Supposer que le Soleil est au repos implique que la somme des forces s'exerçant sur ce cylindre est nulle. C'est-à-dire que la différence entre les forces de pression est exactement équilibrée par la force de gravité. On a donc l'équation d'équilibre hydrostatique locale :

$dP=\frac{\mathcal{G}M(r)\rho (r)dr}{r^2}$

L'équilibre hydrostatique global

Pour obtenir une équation globale, multiplions chaque membre de l'équation par le volume

$V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$

et intégrons le résultat entre r=0 et r= R_soleil .

Le membre de droite donne :

$\frac{1}{3}\int_0^{R_{\odot}}\frac{\mathcal{G}M(r)dM(r)}{r}=\frac{1}{3}\int_0^{R_{\odot}}dE_{\rm p}(r)=\frac{1}{3}E_{\rm p \odot}$

Où E_p est l'énergie potentielle gravitationnelle et $E_{\rm p\odot}$ l'énergie potentielle gravitationnelle totale du Soleil.

Le membre de gauche donne :

$\int_{P_{\rm centre}}^{P=0} V(r)dP$

où P_centre est la pression au centre du Soleil et en supposant que la pression est nulle à sa surface. Une intégration par partie donne :

$-\int_{0}^{R_{\odot}}P(r)dV$

En faisant l'hypothèse des gaz parfaits on a : PV=Nk_BT où N est le nombre totale de particules dans le système et k_B la constante de Boltzman. En remarquant que l'énergie interne du système s'écrit $E_{\rm T}=\frac{3}{2}k_{\rm B}TN$ , on peut récrire l'équation des gaz parfaits en :

$P=\frac{2}{3}\frac{E_{\rm T}}{V}=\frac{2}{3}\rho_{\rm e}$

où ρ_e est la densité volumique d'énergie interne. En la réinjectant dans l'équation précédente le membre de gauche donne finalement :

$-\int_0^{R_{\odot}}\frac{2}{3}\rho_{\rm e}dV=\frac{2}{3}E_{\rm T\odot}$

où $E_{\rm T \odot}$ est l'énergie interne totale du Soleil. Au final, l'équation d'équilibre hydrostatique intégrée donne donc :

$E_{\rm p\odot}=-2E_{\rm T\odot}$ .

Cela signifie que si le Soleil se contracte et que son énergie potentielle diminue de ΔE_p, son énergie thermique augmente de ΔE_T=ΔE_p/2 et le Soleil se réchauffe. Pendant une contraction, la moitié de l'énergie potentielle gravitationnelle en jeu est donc convertie en énergie interne. L'autre moitié est en fait évacuée sous forme de rayonnement.

Source de l'énergie solaire

Auteur: Arnaud Beck

La gravité est elle la source de l'énergie solaire ?

Difficulté : ☆ Temps : 5 minutes

Question 1)

On a vu que le rayonnement solaire peut être alimenté par la contraction du Soleil. Sachant que le Soleil est vieux de plus de 4 milliards d'année, que sa masse vaut 2.10³⁰ kg, son rayon 7.10⁸ m, la constante de gravitation $\mathcal{G}$ =6,7.10^-11 m³ kg^-1 s^-2 et connaissant la puissance rayonnée par le Soleil (d'après l'exercice précédent ), cette hypothèse est-elle réaliste ?

Température du centre du Soleil

Auteur: Arnaud Beck

Calcul de la température

Difficulté : ☆☆ Temps : 10 min

Question 1)

En conservant les hypothèses mentionnées ci-dessus et en supposant de plus que le Soleil est de densité homogène et uniquement composé d'hydrogène dont un atome pèse μ=1,6.10^-27 kg, en déduire la température approximative du milieu de l'intérieur solaire.

L'intérieur du Soleil

L'équilibre hydrostatique local de l'intérieur

L'équilibre hydrostatique global

Source de l'énergie solaire

La gravité est elle la source de l'énergie solaire ?

Température du centre du Soleil

Calcul de la température

Réponses aux exercices

Exercice 'La gravité est elle la source de l'énergie solaire ?'

Exercice 'Calcul de la température'