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Auteurs: Thomas Navarro, Arianna Piccialli

Étude d'une tornade
Géostrophie
Vent thermique géostrophique
Les bases de la circulation atmosphérique
Force de Coriolis

Étude d'une tornade

Auteur: EM

Modèle simplifié d'une tornade

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

On modélise une tornade par une circulation tangentielle $v_{\theta}(r)\vec{u}_{\theta}$ autour d'un centre. Le rayon caractéristique de la tornade est défini par tel que : pour r<R , $\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = 2 \omega \vec{k}$ et pour r>R , $\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ .

Question 1)

À l'aide du théorème de Stokes, donner l'expression de $v_\theta(r)$ en tout point de l'espace. Exprimer en particulier la vitesse maximale $v_{\mathrm{max}}$ en fonction de $\omega$ et de . Où est-elle atteinte ?

[2 points]

Question 2)

En pratique, est inférieur au kilomètre et $v_{\mathrm{max}}$ de l'ordre de 100 m/s. Quelle approximation est la plus justifiée : cyclostrophique ou géostrophique ?

[1 points]

Question 3)

Exprimer alors une équation différentielle portant sur la pression P(r) . On considèrera par la suite que $P(r \to \infty) = P_0$ .

[2 points]

Question 4)

On considère la masse volumique $\rho$ de l'atmosphère constante. Intégrer alors cette équation différentielle et exprimer $\Delta P = P(r=0) - P_0$ en fonction de $\omega$ , $\rho$ et , puis de $\rho$ et $v_{\mathrm{max}}$ . Justifier le signe de $\Delta P$ .

[3 points]

Question 5)

Application numérique Exprimer $\rho$ à la surface pour la Terre et pour Mars à l'aide de la loi des gaz parfaits. À l'aide des données du cours, calculer alors $\Delta P/P_0$ pour une tornade terrestre avec $v_{\mathrm{max}} = 80\,\mathrm{m/s}$ . En supposant la même valeur de $\Delta P/P_0$ sur Mars, estimer alors $v_{\mathrm{max}}$ sur Mars.

[1 points]

Géostrophie

Auteur: EM

Estimation de la circulation dans une dépression.

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On considère une dépression martienne de rayon $R = 500\,\mathrm{km}$ et de différence de pression en son centre avec la pression moyenne à la surface de Mars $\Delta P = -0.03\,\mathrm{mbar}$ . Cette dépression se situe à la latitude $\lambda = +45^\circ$ . On se placera par la suite dans le cadre de l'approximation géostrophique. La température moyenne sur Mars est voisine de $T_0 = 215\,\mathrm{K}$ , la pression moyenne de surface voisine de $P_0 = 6\,\mathrm{mbar}$ , l'accélération de la gravité y vaut $g=3.7\,\mathrm{m/s^2}$ et la masse molaire de l'atmosphère y est de $M = 43.4\,\mathrm{g/mol}$ .

Question 1)

Calculer la masse volumique $\rho$ de l'atmosphère à la surface de Mars.

[1 points]

Question 2)

Calculer la valeur du paramètre de Coriolis $f = 2 \Omega \sin \lambda$ .

[1 points]

Question 3)

Estimer l'ordre de grandeur du gradient radial de pression dans cette dépression.

[1 points]

Question 4)

En appliquant la relation géostrophique, estimer la norme de la vitesse du vent tangentiel à la distance R/2 du centre de la dépression. Quelle sera sa direction ?

[2 points]

Question 5)

Vérifier a posteriori la validité de l'approximation géostrophique.

[1 points]

Question 6)

Les frottements à la surface entraînent une déviation du vent à proximité d'un angle valant $\alpha \approx 10^\circ$ par rapport aux isobares (considérés ici comme des cercles concentriques). Exprimer le flux de masse gazeuse entrant par la surface latérale de la dépression, de périmètre $2\pi R$ et s'étendant verticalement sur une échelle de hauteur . En déduire alors la vitesse moyenne verticale du vent au sein de la dépression et son signe (ascendant ou descendant).

[2 points]

Vent thermique géostrophique

Auteur: EM

Courant jet sur Terre

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

On considère les températures moyennées (zonalement, c'est-à-dire en longitude) au niveau de la surface pour les mois de janvier () et juillet () à différentes latitudes sur Terre.

Moyenne zonale des températures
Latitude	[°C]	[°C]
30°N	+12	25
45°N	0	20
60°N	-12	15

Question 1)

Estimer le gradient de température sur la direction nord-sud à 45°N en janvier et en juillet. On donne le rayon terrestre $a = 6378\,\mathrm{km}$ .

[2 points]

Question 2)

Difficile et facultatif Des différences horizontales de température (selon ici) se traduisent par des différences horizontales d'échelle de hauteur atmosphérique $H(y) = \frac{R T(y)}{Mg}$ . En supposant les pression au niveau uniformes selon , montrer que les pressions à l'altitude $\delta z \ll H$ sont telles que : $\frac{\partial P(z+\delta z)}{\partial y} = -P(z) \delta z \frac{\partial (1/H)}{\partial y}$

[2 points]

Question 3)

Difficile et facultatif Le léger (d'ordre 1 en $\delta z$ ) gradient horizontal de pression ainsi créé engendre un léger vent géostrophique $\delta u$ . Montrer que $\delta u = - \frac{g}{fT} \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right) \delta z$ .

[2 points]

Question 4)

L'équation obtenue précédemment se généralise sous la forme $\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{g}{fT} \left( \frac{\partial T}{\partial y} \right)$ et s'appelle équation du vent thermique. Calculer le cisaillement vertical du vent zonal $\frac{\partial u}{\partial z}$ en utilisant cette équation. On donne la vitesse angulaire de la rotation sidérale terrestre $\Omega = \frac{2 \pi}{T_{\mathrm{sid}}} \approx 7.3 \cdot 10^{-5} \,\mathrm{rad/s}$ .

[1 points]

Question 5)

En considérant le vent nul à la surface et la température constante avec l'altitude, estimer alors la vitesse du vent zonal au sommet de la troposphère à une altitude $H = 8\,\mathrm{km}$ (soit environ une échelle de hauteur) en hiver puis en été. Dans quelle direction souffle ce vent (appelé courant jet) ?

[2 points]

Les bases de la circulation atmosphérique

Exercice

Question 1)

Dans la figure suivante, on voit que l'énergie absorbée dans le visible dépend de la latitude (courbe bleue). Sachant que la puissance émise par le Soleil et reçue par la Terre est de 1361 W/m2 au total, quelle est l'équation régissant la relation entre la puissance reçue sur Terre et la latitude ?

Quelle serait l'allure de cette figure pour une planète ne possédant pas d'atmosphère ?

Bilan d'énergie

Question 2)

Dans la figure suivante, on a fait figurer le vent à deux altitudes différentes (300 et 925 Pa). Comment interprétez-vous l'orientation et l'intensité des vents ? Quel lien faites-vous avec les zones où les nuages sont absents ou présents ? Les zones arides et boisées sur Terre ?

Vents et nuages terrestres

Crédit : Thomas Navarro

Question 3)

Quel est le lien entre variation particulaire et la variation totale d'un grandeur ? Comment interpréter le cas où le fluide est au repos (vitesse du fluide nulle) ?

Question 4)

Un ami vous affirme que le sens de rotation d'un vortex créé par de l'eau s'écoulant d'un lavabo dépend de l'hémisphère dans lequel on se trouve. Il en veut pour preuve que ce sens est toujours le même dans sa salle de bains et que ses nombreuses expériences de voyage de par le monde ne permettent pas de mettre ce fait en doute. Qu'en pensez-vous ?

Force de Coriolis

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Vous vous trouvez sur un manège tournant et souhaitez lancer un balle à votre ami situé de l'autre côté du manège. Si le manège tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, Devez-vous lancer la balle à droite, à gauche, ou dans la direction de votre ami pour qu'elle lui arrive directement dans les bras ?

Vue de haut : vous êtes un bonhomme bleu avec un ami orange sur un manège gris. manege/manege1.png

Question 2)

Contrairement à vous, votre ami a eu mal au coeur et est descendu du manège pour s'asseoir sur un banc. Vous souhaitez néanmoins toujours lui lancer une balle, ce que vous tentez au moment où vous êtes le plus proche de lui. Devez-vous lui lancer la balle à droite, à gauche ou dans sa direction.

Vue de haut : vous êtes toujours un bonhomme bleu sur un manège gris mais votre ami orange n'est plus sur le manège. manege/manege4.png .

Question 3)

Il est possible de recréer une gravité artificielle dans un vaisseau spatial en le mettant en rotation autour d'un axe central. Les astronautes peuvent ainsi profiter d'une gravité telle que ressentie à la surface de la Terre dans un anneau qui tourne autour de son centre. Afin qu'ils ne ressentent pas de gêne lorsqu'ils se déplacent dans l'anneau, quelle doit être le diamètre minimal de l'anneau ?

Une station orbitale avec deux anneaux en rotation autour du moyeu central.

Crédit : 2001, Odyssée de l'espace

Réponses aux exercices

pages_planetologie-dynamique/fluide-dynamique-tester-tut1.html

Exercice 'Modèle simplifié d'une tornade'

Question 1
Aide :
Distinguer deux cas, selon que ou .
Question 2
Aide :
Calculer le nombre de Rossby et conclure.

Aide :
La latitude du lieu étant inconnue, donner un encadrement de .
Question 3
Aide :
Utiliser l'équation de Navier-Stokes simplifée pour le cas cyclostrophique.

Aide :
L'approximation cyclostrophique équilibre le gradient de pression avec la force d'inertie (centrifuge ici).
Question 4
Aide :
Penser à intégrer d'abord de à , puis de à $r \to \infty$ . Utiliser les expressions de $v_\theta(r)$ pour chaque domaine avant de simplifier.
Question 5
Aide :
Il peut être utile de faire apparaître la vitesse du son (dans l'approximation isotherme) $c_s = \sqrt{\frac{R T}{M}}$ dans les expressions obtenues.

pages_planetologie-dynamique/fluide-dynamique-tester-tut2.html

Exercice 'Estimation de la circulation dans une dépression.'

Question 1
Aide :
Utiliser la loi des gaz parfaits.
Question 2
Aide :
La durée du jour sidéral martien est de $T_{\mathrm{sid}} \approx 88642\,\mathrm{s}$ .
Question 3
Aide :
Comme on raisonne en ordre de grandeur, on peut estimer ce gradient comme la différence de pression divisée par la distance radiale caractéristique.
Question 4
Aide :
Appliquer la relation du cours définissant l'approximation géostrophique, à savoir l'équilibre entre le gradient de pression et la force de Coriolis.

Aide :
Pour le sens de rotation, le raisonnement est identique au cas terrestre.
Question 5
Aide :
Calculer le nombre de Rossby pour répondre à la question demandée.
Question 6
Aide :
Attention : le vent vertical se déduit de la conservation de la masse au sein de la dépression !

pages_planetologie-dynamique/fluide-dynamique-tester-tut3.html

Exercice 'Courant jet sur Terre'

Question 1
Aide :
Il pourra être utile de connaître la distance sous-tendue par un degré d'angle dans la direction d'un méridien.
Question 2
Aide :
Pour des différences de hauteur $\delta z \ll H$ , on peut linéariser l'équation hydrostatique décrivant la diminution de pression avec l'altitude : $P(z+\delta z) - P(z) \approx -P(z) \times \delta z/H$ .

Aide :
Exprimer la petite différence en utilisant le fait que .
Question 3
Aide :
Utiliser la définition de l'échelle de hauteur pour faire apparaître .

Aide :
Utiliser la loi des gaz parfaits sous la forme $P = \frac{\rho R T}{M}$ pour éliminer de l'équation géostrophique.
Question 4
Aide :
Appliquer la formule précédemment obtenue.
Question 5
Aide :
Intégrer verticalement l'équation précedente.

pages_planetologie-dynamique/setester-bases.html

Exercice

Question 1
Solution :
L'énergie reçue en haut de l'atmosphère reste la même, avec ou sans atmopshère. Il n'y a pas d'atmosphère pour transporter un excès d'énergie, la conservation de l'énergie s'applique donc au niveau local : les deux courbes se superposent.
Question 2
Solution :
La réponse est résumée dans le schéma suivant.

Crédit : Thomas Navarro

Remarquons tout de même l'influence des continents et des océans sur cette circulation. Même en en tenant compte, la réalité s'avère beaucoup plus complexe que cette explication simple quoique juste, car il faut tenir des variations saisonnières et interannuelles, de la circulation océanique, de modes propres de l'atmosphère, etc ...
Question 3
Solution :
Voir cours.

Si la vitesse est nulle, la dérivée lagrangienne est égale à la dérivée eulérienne. En effet, s'il n'y a pas de mouvement du fluide, suivre la particule ou rester en point fixé revient au même.
Question 4
Aide :
Un vortex de lavabo est-il un système géostrophique, cyclostrophique ou aucun des deux ?

Solution :
Le nombre de Rossby associé à l'écoulement dans un lavabo avec les ordres de grandeurs habituels est très grand devant 1. L'écoulement y est donc cyclostrophique, sans influence mesurable de la force de Coriolis et donc sans dépendance avec l'hémisphère où le lavabo se trouve.

Il n'en reste pas moins votre ami. Aimez-le malgré tout.

pages_planetologie-dynamique/exo-coriolis.html

Exercice 'Exercices de démonstration et d'acquisition du cours'

Question 1
Solution :
La force de Coriolis s'exercera sur la gauche du vecteur vitesse puisque le vecteur rotation est dirigé vers le sol. Il faudra donc envoyer la balle vers la droite du réceptionneur. La trajectoire de la balle sera courbe telle que vue par une personne dans la manège.

Une autre manière de le concevoir est de voir la situation dans un référentiel fixe galiléen : la trajectoir de la balle sera rectiligne et le réceptionneur se déplacera vers elle en restant sur la manège.
Question 2
Solution :
Votre vitesse s'ajoute à la vitesse de la balle au moment où vous la lancez : il faut donc lancer à la gauche du réceptionneur cette fois-ci.
Question 3
Aide :
La gêne ressentie serait due à une force de Coriolis trop grande lorsqu'ils se déplacent sur la surface interne de l'anneau ...

Solution :
Soit le rayon de l'anneau et $\omega$ sa vitesse de rotation. On impose un gravité artificielle, c'est-à-dire une force centrifuge égale à 9.81 $m.s^{-2}$ . On a donc la relation $R\omega^2=g=$ 9.81 $m.s^{-2}$ .

Supposons que la vitesse maximale des astronautes dans l'anneau soit atteinte lorsqu'ils courent le long de l'anneau. Cette vitesse est perpendiculaire à l'axe de rotaion, et dirigée vers le bas ou vers le haut relativement à l'astronaute, c'est à dire qu'elle s'ajoute ou se soustrait à son poids. Un champion olympique peut atteindre 10 $m.s^{-1}$ , on supposera ici que la vitesse maximale que peut atteindre un astronaute dans l'anneau est moitié moindre soit $v_{max} =$ 5 $m.s^{-1}$ . On impose également que son poids ne doit pas varier de plus de 20 % lorsqu'il se déplace (imaginez courir et un cinquième de votre poids se rajoute à vous : c'est désagréable mais encore supportable).

On obtient donc une magnitude de la force de Coriolis maximale de $2\omega v_{max}$ . Avec un critère de 10 % de variation du poids, on obtient la relation $2\omega v_{max} < 0.2 g$

En utilisant $\omega^2 = \frac{g}{R}$ , on obtient $R > \frac{100 v_{max}^2}{g}$ , soit un rayon minimal de 254 m.