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Auteur: EM

Une autre interprétation de l'échelle de hauteur

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Question 1)

Exprimer la masse d'une colonne d'atmosphère de surface en fonction de la pression à la surface P_0 et de l'accélération de la gravité . Faire l'application numérique approchée dans le cas de la Terre.

[3 points]

Question 2)

On considère à présent une boîte rectangulaire de surface et de hauteur au sein de laquelle la pression est partout égale à P_0 et la température partout égale à . Cette boîte contient en outre la même masse de gaz que la colonne d'atmosphère considérée à la question précédente.

Exprimer la masse volumique $\rho$ du gaz contenu dans la boîte en fonction de , puis en fonction de P_0 .

[1 points]

Question 3)

En utilisant l'équation d'état du gaz parfait, exprimer alors en fonction notamment de et de la masse molaire du gaz.

[2 points]

Question 4)

En déduire une nouvelle interprétation de l'échelle de hauteur atmosphérique.

[1 points]

Auteur: EM

Zone d'habitabilité du système TRAPPIST-1

Difficulté : ☆ Temps : 30 min

Voici un tableau résumant les caractéristiques des planètes connues (en 2017) du système TRAPPIST-1. L'étoile centrale est une naine rouge ultrafroide ( R_star = 0,114*R_sun et T_star = 0,44*T_sun = 2550*K )

Caractéristiques des planètes du système TRAPPIST-1
Nom	Masse ()	Rayon ()	Distance à l'étoile (UA)
b	0.79	1.086	0.01111
c	1.63	1.056	0.01522
d	0.33	0.772	0.02145
e	0.24	0.918	0.02818
f	0.36	1.045	0.0371
g	0.566	1.127	0.0451
h	0.086	0.715	0.0596

Question 1)

Compléter la colonne $T_{\mathrm{eq}}$ du tableau en supposant que toutes ces planètes ont le même albédo bolométrique que la Terre. On donne pour la Terre T_(eq*earth) = 255*K et A_earth = 0,306 .

[4 points]

Question 2)

Même question dans le cas où on considère un albédo nul pour ces planètes. Commenter.

[2 points]

Question 3)

Les limites de la zone d'habitabilité dans le système solaire sont de 0,95 UA (bord interne ; plus près, le flux stellaire trop important entraîne un effet de serre divergent pour la vapeur d'eau) et 1,37 UA (bord externe ; plus loin, même l'effet de serre d'une atmosphère riche en CO₂ ne permet plus de maintenir des températures de surface au-dessus de 0°C). Calculer les limites correspondantes pour le système TRAPPIST-1. Quelles planètes pourraient alors être habitables ?

[2 points]

Question 4)

Compléter le tableau ci-dessus en indiquant, pour chaque planète (supposées d'albédo terrestre) ainsi que pour l'étoile TRAPPIST-1, la longueur d'one du maximum de son émission thermique. Comparer avec la situation du système solaire.

[1 points]

Temps radiatif

Auteur: EM

Temps radiatif dans une atmosphère

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

On considère une atmosphère transparente en lumière visible et partiellement opaque aux IR thermiques (absorbance et émissivité 0 < epsilon < 1 ), et de température uniforme T_a à l'équilbre radiatif. À l'instant intial, on perturbe la température de cette atmosphère d'une quantité Delta*T_0 << T_a . Delta*T varie ensuite en fonction du temps.

Question 1)

Pourquoi peut considérér que l'absorbance et l'émissivité de l'atmosphère sont égales (pour une longueur d'onde donnée) ?

[1 points]

Question 2)

Exprimer le surcroît de flux thermique Delta*F émis par une colonne atmosphérique de surface dans tout l'espace. On se limitera à l'ordre 1 en Delta*T .

[2 points]

Question 3)

Exprimer la capacité calorifique (à pression constante) de cette colonne d'atmosphère en fonction notamment de la capacité calorifique massique c_p , de la pression de surface P_0 et de la gravité de surface .

[1 points]

Question 4)

Montrer alors que Delta*T obéit à l'équation différentielle suivante : ((P_0*c_p)/(8*g*epsilon*sigma*T_a^3))*((partDelta*T)/(partt)) + Delta*T = 0

[2 points]

Question 5)

Résoudre alors cette équation en faisant apparaître une constante de temps appelée temps radiatif t_r .

[1 points]

Question 6)

Application numérique : on donne pour la Terre et pour Mars les valeurs suivantes.

Caractéristiques
	Terre	Mars
[K]	242	181
	0,77	0,18
[Pa]	10⁵	640
[m/s²]	9,8	3,7
[J/K/kg]	1000	800

Calculer t_r pour ces deux planètes.

[1 points]

Question 7)

Estimer alors l'amplitude thermique diurne de température sur Terre et sur Mars.

[2 points]

Étude d'une atmosphère fictionnelle

Auteur: Emmanuel Marcq

Exercice

Vous venez d'être embauché par un célèbre réalisateur Hollywoodien en tant que conseiller scientifique pour son prochain film de science-fiction. L'action se déroulera sur une lune tellurique nommée Pandore d'une planète géante appelée Polyphème en orbite autour de l'étoile $\alpha\,\mathrm{Cen}$ . Toutes les données numériques pertinentes se trouvent ci-dessous.

Données numériques pertinentes

Étoile (α Centauri) :

Masse : 1,1 masse solaire
Rayon : 1,27 rayon solaire
Classe spectrale : G2V
Température photosphérique : 5790 K

Polyphème :

Masse : 0,44 masse jovienne
Rayon : 0,75 rayon jovien
Période de rotation : 15 h
Période de révolution : 1,4 année terrestre
Rayon de l'orbite : 1,32 UA
Albédo visible : 0.4

Pandore :

Rayon : 0,78 rayon terrestre
Masse : 0,43 masse terrestre
Rayon de l'orbite : 264000 km
Période de rotation (synchrone avec révolution) : 31,5 h
Albédo visible : 0,3
Pression atmosphérique à la surface : 1,22 bar
Température moyenne de surface : 27°C
Composition atmosphérique (% en masse) : $\mathrm{N_2}$ (81 %), $\mathrm{O_2}$ (16 %), $\mathrm{CO_2}$ (2 %), $\mathrm{Ar}$ (1 %), $\mathrm{H_2O}$ (variable), $\mathrm{Ne}$ , $\mathrm{CO}$ , $\mathrm{CH_4}$ , $\mathrm{H_2S}$ , $\mathrm{O_3}$ , $\mathrm{OCS}$ , $\mathrm{SO_2}$ (traces).
Capacité calorifique à pression constante : 1012 J/kg/K

Question 1)

Quelle est la puissance lumineuse totale émise par l'étoile hôte ?
Calculer alors la constante stellaire au niveau de l'orbite de Polyphème.

Question 2)

Calculer la température d'équilibre ${T_{\mathrm{eq}}}'$ de la planète géante
La température effective ${T_{\mathrm{eff}}}'$ de Polyphème sera-t-elle supérieure ou inférieure à ${T_{\mathrm{eq}}}'$ ? Justifier.
Bonus : proposer une composition possible des nuages visibles de Polyphème, situés à une altitude où la température est voisine de ${T_{\mathrm{eq}}}'$ .

Question 3)

Calculer la température d'équilibre $T_{\mathrm{eq}}$ de Pandore. La comparer à celle du point triple de l'eau, égale à $273.15\,\mathrm{K}$ . Que vaut alors $T_{\mathrm{eff}}$ ?
Quel est le nom du phénomène responsable de l'écart entre la température de surface et $T_{\mathrm{eff}}$ ? En donner une explication qualitative.

Question 4)

On se propose à présent d'estimer l'opacité infrarouge de l'atmosphère de Pandore à l'aide d'un modèle simple. L'atmosphère est supposée parfaitement transparente en lumière visible et absorbe la totalité des rayonnements infrarouges thermiques. La température de l'atmosphère, supposée uniforme, sera notée T_a .

Faire un schéma en représentant de façon distincte les flux visible et IR thermique montants et descendants
Exprimer le flux thermique s'échappant vers l'espace en fonction notamment de $T_{\mathrm{eff}}$ .
Effectuer un bilan des flux au niveau de la surface.
En déduire alors les expressions de et en fonction de $T_{\mathrm{eff}}$ .
Effectuer l'application numérique et comparer avec la valeur de donnée dans l'énoncé. Que constate-t-on ? Proposer une explication.

Question 5)

Afin d'améliorer ce modèle, on ajoute une seconde couche atmosphérique partiellement opaque aux IR thermiques au-dessus de la première couche (qui reste complètement opaque à ces mêmes IR thermiques). On note la température de la couche supérieure T_1 et celle de la couche profonde T_2 . La couche 1 absorbe une fraction $0 < \varepsilon_1 < 1$ du rayonnement IR thermique. Ces deux couches sont toujours considérées parfaitement transparentes en lumière visible.

Faire un nouveau schéma représentant les différents flux.
En effectuant trois bilans respectivement au niveau de l'espace, de la couche semi-transparente aux IR et à la surface, déterminer un système de trois équations à trois inconnues , et . On fera apparaître l'expression de $T_{\mathrm{eff}}$ dans ce système.
Résoudre ce système d'équations. En déduire la valeur de $\varepsilon_1$ , puis celles de et .
Sur Terre, une modélisation analogue ne nécessite qu'une seule couche semi-transparente aux IR sans couche profonde ( $\varepsilon_{\mathrm{Terre}} \simeq 0.8$ ). Comparer l'intensité de l'effet de serre sur Terre et sur Pandore.

Question 6)

Compte tenu de la composition atmosphérique, s'attend-on à trouver une stratosphère sur Pandore ? Si oui, quelle serait l'espèce chimique responsable ?

Question 7)

Calculer la masse molaire moyenne de l'atmosphère ainsi que la gravité de surface.
En déduire l'échelle de hauteur atmosphérique au niveau de la surface.
La limite de l'atmosphère (exobase) se situe à une pression de $10^{-9}\,\mathrm{bar} = 10^{-4}\,\mathrm{Pa}$ . Estimer l'altitude de cette exobase (on considérera constant pour ce calcul).

Question 8)

Calculer le gradient adiabatique sec $\Gamma$ . Le gradient adiabatique humide sera-t-il inférieur ou supérieur en valeur absolue ?

Question 9)

Représenter l'allure du profil thermique moyen de Pandore. On considérera que la troposphère s'étend sur une échelle de hauteur , et on fera figurer l'échelle de hauteur, les différentes couches atmosphériques et les températures à leurs limites quand cela est possible.