Diffraction et transformée de Fourier


Observer

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Pupille d'entrée et sa transformée de Fourier.
Crédit : ASM

La TF de la pupille

La figure de diffraction d'une pupille, quelle qu'elle soit, est identique à sa transformée de Fourier.


Apprendre

prerequisPrérequis

Cours sur la diffraction de Fraunhofer.

objectifsObjectifs

(Page à n'aborder qu'en 2eme lecture.) Mettre en regard le formalisme décrivant la diffraction à l'infini par une pupille et le formalisme de la transformation de Fourier.

Diffraction et transformée de Fourier

En repérant un point de la pupille par la variable \mathbf{r}, la fonction A( \mathbf{r}) caractérisant l'éclairement sur la pupille, l'amplitude diffractée dans une direction angulaire de vecteur directeur \mathbf{u} s'écrit :

\begin{eqnarray*} A ( \mathbf{u})\ &=&\ \int\!\!\!\int_{\mathrm{ pupille }} A( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right] \ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ &=& \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ I( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}\\ \end{eqnarray*}

Avec le terme 1/\lambda^2 introduit pour normaliser l'élément de surface {\mathrm{d}} \mathbf{r}, et {\cal P} ( \mathbf{r}) la pupille d'entrée, qui limite la fraction de l'onde plane émise par la source à l'infini. Pour un éclairement uniforme en incidence normale, {\cal P} ( \mathbf{r}) est typiquement une fonction porte à 2 dimensions.

Par ailleurs, le formalisme de la transformation de Fourier s'écrit :

\tilde f ( \mathbf{u}) \ =\ \int\!\!\!\int f( \mathbf{r} ) \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u} . \mathbf{r} \right] \ \ {\mathrm{d}} \mathbf{r}

On se doute que l'air de ressemblance entre ces 2 dernières égalités vaut plus qu'un simple hasard.

La TF de la pupille

Si l'on peut supposer l'éclairement uniforme, l'amplitude diffractée dans une direction \mathbf{u} est donnée par la transformée de Fourier de la fonction de pupille \cal P, la variable de position étant normalisée en unité de longueur d'onde :

A ( \mathbf{u})\ =\ A_0 \ \int\!\!\!\int {\cal P}( \mathbf{r})\ \exp\left[ -2i\pi \mathbf{u}. { \mathbf{r} \over \lambda} \right]\ \ { {\mathrm{d}} \mathbf{r}\over \lambda^2}

Les variables conjuguées sont la direction angulaire, repérée par le vecteur \mathbf{u}, et \mathbf{r} / \lambda la variable spatiale décrivant la pupille rapportée à la longueur d'onde.

Diffraction et filtrage

On peut utiliser les propriétés de la TF pour réécrire les caractéristiques de la diffraction. Une pupille de taille caractéristique a filtre les hautes fréquences, càd l'information angulaire plus fine typiquement que \lambda / a.

Plus la pupille est grande, moins elle filtre angulairement.


Simuler

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Pupille d'entrée et sa tache d'Airy : module carré de sa transformée de Fourier.
Crédit : ASM

La TF de la pupille

La tache image due à la seule diffraction dépend du diamètre du télescope. Plus ce dernier est grand, plus la tache d'Airy est piquée.